Una consecuencia de la desigualdad$\pi(x)+\pi(y)\ge\pi(x+y)$

Question

Suponga que la desigualdad$\pi(x)+\pi(y)\ge\pi(x+y)$ se cumple para todos los enteros$x,y>2$ donde$\pi(x)$ indica el número de primos menores o iguales a$x$. Luego, busca todos$m$ y$n$ de manera que,$$\pi(p_n-p_m)>\pi(p_n)-\pi(p_m)$$where $ p_i$ denotes the $ i $ -th prime.

Ahora, a partir de la hipótesis, se sigue fácilmente que$$\pi(p_n-p_m)\ge\pi(p_n)-\pi(p_m)$ $, pero no puedo probar que la igualdad no puede ocurrir. ¿Alguien puede ayudarme?

Answer 1

Tenga en cuenta que$\pi(p_n) = 1 + \pi(p_{n-1}),$ entonces el lado derecho de la desigualdad (suponiendo$n > m$) es solo$\pi(p_n) - \pi(p_m) = 1 + \pi(p_{n-1}) - (1+\pi(p_{m-1}))= \pi(p_{n-m+1}) - 1.$ Por lo tanto, la desigualdad se reduce a$\pi(p_n - p_m) \ge \pi(p_{n-m+1}),$ que contiene iff$p_n-p_m \ge p_{n-m+1},$ desde $p_{n-m+1}$ es primo. Dudo que haya una forma fácil de averiguar exactamente para qué$m,n$ esto vale.