¿Es esto una prueba de que todo aumento estricto $f\colon\mathbb{R\to R}$ ¿es inyectiva defectuosa?

Question

El problema es el siguiente:

Una función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ se llama estrictamente creciente si $$\forall x,y\in\mathbf{R},\ x<y\implies f(x)<f(y).$$ Demuestre que cualquier función estrictamente creciente es inyectiva.

La solución aportada es la siguiente:

$\ \ $ $\text{S}\scriptstyle{\text{OLUTION}}:$ Supongamos que $x_1,x_2\in\mathbb{R}$ son tales que $f(x_1)=f(x_2)$ . Entonces no es cierto que $x_1<x_2$ (para entonces $f(x_1)<f(x_2)$ ) y así $x_1\geq x_2$ . Del mismo modo, $x_2\geq x_1$ y así $x_1=x_2$ . Así, $f$ es inyectiva.

He estado reflexionando sobre esta prueba, y me parece que puede ser lógicamente incorrecto.

En la definición de una función estrictamente creciente, tenemos que $x < y \implies f(x) < f(y)$ . Así que tenemos que $A \implies B$ , donde $A = x < y$ y $B = f(x) < f(y)$ . Así que es un implicación unidireccional .

Luego, en la prueba de la solución, comienza asumiendo que $f(x_1) = f(x_2)$ . Pero a continuación afirma que este implica que no es cierto que $x_1 < x_2$ ya que, de lo contrario, habríamos tenido $f(x_1) < f(x_2)$ . Sin embargo, Como acabo de decir, la definición de una función estrictamente creciente es la siguiente $x < y \implies f(x) < f(y)$ -- a unidireccional implicación de $x < y$ a $f(x) < f(y)$ . ¿Pero no es la solución a prueba de intentar usar $f(x) < f(y) \implies x < y$ en su lugar, ya que está utilizando el hecho de que tenemos $f(x_1) = f(x_2)$ para afirmar que entonces no es cierto que $x_1 < x_2$ ?

Entonces, para que esta prueba de solución sea correcta, ¿la definición proporcionada para una función estrictamente creciente no tendría que incluir también la implicación unidireccional inversa, de modo que tendríamos $x < y \iff f(x) < f(y)$ ?

Agradecería mucho que la gente se tomara la molestia de aclarar esto. Si estoy malinterpretando algo, agradecería una explicación para poder entender dónde está mi malentendido.

Answer 1

No diría que la prueba está muy bien escrita, pero es lógicamente correcta. La definición de una función creciente es $$\hbox{if}\quad x_1<x_2\quad\hbox{then}\quad f(x_1)<f(x_2)\ .$$ Como usted señala, la inversa de una implicación no es lógicamente equivalente a la implicación original. Por lo tanto, no podemos suponer sin pruebas que lo contrario es cierto.

Sin embargo, esta prueba no utiliza la inversa sino la contrapositivo , $$\hbox{if}\quad f(x_1)\not<f(x_2)\quad\hbox{then}\quad x_1\not<x_2\ ,$$ que es equivalente a la definición y, por tanto, es automáticamente verdadera. Así:

• asume $f(x_1)=f(x_2)$ ;
• entonces $f(x_1)\not<f(x_2)$ ;
• así que $x_1\not<x_2$ ;
• así que $x_1\ge x_2$

y así sucesivamente. Alternativamente, se puede ver como una prueba por contradicción: dejemos que $f(x_1)=f(x_2)$ ; supongamos que $x_1<x_2$ ya que $f$ es creciente, tenemos $f(x_1)<f(x_2)$ pero esto no es cierto; así que $x_1\ge x_2$ .

Comentario . En este caso puedes utilizar la definición de función creciente para demostrar que la inversa de la definición es realmente cierta (pruébalo). Sin embargo, por lo que veo, no te ayuda con el problema actual.

Answer 2

$P\implies Q$ implica (y clásicamente es equivalente a) $\neg Q \implies \neg P$ . Esta última fórmula se llama el contrapositivo de la primera. Por lo tanto, a partir de $x < y \implies f(x)<f(y)$ obtenemos $\neg(f(x)<f(y))\implies\neg(x<y)$ . Es decir, $f(x)\geq f(y)\implies x\geq y$ .

En este caso, tenemos el supuesto $f(x_1)=f(x_2)$ . Esto implica $\neg(f(x_1)<f(x_2))$ es decir $f(x_1)\geq f(x_2)$ . Por lo tanto, podemos utilizar el contrapositivo para inferir $\neg(x_1<x_2)$ o $x_1\geq x_2$ . Ahora cambie $x_1$ y $x_2$ y utilizar el mismo argumento y obtenemos $x_2\geq x_1$ . Así, $x_2=x_1$ .