¿Es posible sumar las series divergentes con coeficientes primos?

Question

Esta es una continuación de este pregunta.

Se sabe que la serie divergente $$ P := \sum_{n=1}^\infty p_n \qquad \text{where } p_n \text{ is the $ n $th prime} $$ no se puede sumar mediante la función zeta (primo) regularización . (El resultado se debe originalmente a Landau y Walfisz, véase este papel. Froberg lo mostró más tarde como así .)

Sin embargo, hay muchos otros métodos de suma. Me pregunto si alguno de los siguientes métodos de suma puede sumar las series divergentes de los primos. Por ejemplo:

1. Continuación analítica de series de potencias: ¿? $\lim_{x \to 1^{-} } \sum_{n=1}^{\infty} p_{n} x^{n} $ ¿Existe?
2. Suma de Lindelöf: ¿? $\lim_{x \to 0} \sum_{n=1}^\infty p_n n^{-nx} $ ¿Existe?
3. Continuación analítica de las series de Dirichlet: ¿? $\lim_{s \to 0} \sum_{n=1}^\infty \dfrac{p_n}{n^s} $ ¿Existe?

¿Algunos de estos métodos u otra suma método para asignar un número a la suma de los primos funciona? Si es así, indique también cuál es la forma cerrada de la función correspondiente (para la que existe el límite).

Answer 1

Tal como está escrito, la respuesta a las tres es no, ya que

$$ \begin{align} 1.& \quad \lim_{x \to 1^-} \sum_{n=1}^{\infty} p_n x^n \geq \lim_{x \to 1^-} \sum_{n=1}^{m} p_n x^n = \sum_{n=1}^{m} p_n \text{ for all fixed $ m $,} \\ 2.& \quad \lim_{x \to 0^+} \sum_{n=1}^\infty p_n n^{-nx} \geq \lim_{x \to 0^+} \sum_{n=1}^m p_n n^{-nx} = \sum_{n=1}^{m} p_n \text{ for all fixed $ m $, and} \\ 3.& \quad \sum_{n=1}^\infty \dfrac{p_n}{n^s} \text{ diverges for $ s \leq 2 $.} \end{align} $$

Se podría considerar que esto último es sólo un tecnicismo, ya que todavía puede ser posible encontrar una continuación analítica de la serie de Dirichlet para $s \neq 2$ donde parece tener un polo de orden $2$ . No estoy lo suficientemente familiarizado con estas cosas como para decirlo.