Naturalidad puede ser detectada en una subcategoría densa

Question

$\require{AMScd}\def\colim{\text{colim}}$Necesito este resultado en menos generalidad, pero yo sería feliz de saber que esta versión más fuerte sostiene.

Deje $\{\alpha_c : Fc \to Gc\}$ flechas en una categoría $D$, indexado por los objetos de una categoría $C$, para dos functors $F,G: C\to D$.

Deje $A\subseteq C$ ser una densa subcategoría (lo que significa que $i : A \hookrightarrow C$ es un denso functor). A continuación, $\alpha$ es una transformación natural si y sólo si es natural, en los componentes de la $c\in A$ (y con respecto a los morfismos de $A$).

Edit: Esto no es lo que quería saber (y falsa, ver más abajo): en su lugar, estoy tratando de demostrar que no hay una única extensión de una transformación natural $Fi\to Gi$ a una transformación natural $F\to G$.

Ejemplo: para un functor $K: [I°,Set] \to [I°,Set]$, una transformación natural $\alpha : 1_{[I°,Set]}\to K$ es tal si, y sólo si es natural cuando se limita a representables.

Es fácil ver que el derecho universal a la propiedad da que si $P = \colim y(X_i)$ es un colimit de representables, entonces no es $$ P \cong \colim\; y(X_i) \xrightarrow{\colim \alpha_{X_i}} \colim\; Ky(X_i) \K\big(\colim\; y(X_i)\big) \cong KP $$ Parece entonces que todo se reduce al hecho de que los morfismos $\colim\; KX\to K(\colim\; X)$ es "natural", es decir, $$ \begin{CD} KX @>>> K(\colim_I X_i)\\ @VVV @VVV\\ KY @>>> K(\colim_J Y_j) \end{CD} $$ desplazamientos (pero ¿cómo se puede inducir a la derecha-flecha vertical?).

Answer 1

Esto es muy muy falso. Puede simplemente tomar cualquier transformación natural $Fi\to Gi$ y luego definir $\alpha_c$ cada $c\not\in A$ que cualquier mapa $Fc\to Gc$ a todos. Sería una enorme coincidencia si éste satisfecho naturalidad.

Para un ejemplo sencillo, que $C=D=Set$, $F=G=1{Set}$, y que $A$ consisten en sólo un singleton. Cualquier $\alpha$ es natural cuando $A$, pero ciertamente no es cierto que cualquier colección de mapas de $X\to X$ para cada conjunto de $X$ define una transformación natural $1{Set}\to 1_{Set}$