¿por qué funciona este rompecabezas?

Question

Pensar en un entero positivo, llámalo X. mezclar los dígitos decimales de X, llame al número resultante Y. Restar el menor de X,Y de la mayor, llamada la diferencia D tiene la propiedad siguiente: no-cero dígito decimal de D puede ser determinado a partir de los dígitos restantes. Es decir, si usted le pregunta a alguien para ocultar uno de los no-cero dígitos en la representación decimal de D, entonces usted puede tratar de impresionar a la otra persona por descubrir la oculta dígitos de los dígitos restantes. Cómo se hace esto? Por qué funciona?

Answer 1

El corto de la versión corta es que esto es un artefacto de la idea de echar fuera nines: la suma de un número de dígitos da el mismo resto en la división por 9 que el número original. Por ejemplo, $431=9\times47+8$, e $4+3+1=8$. Puesto que X y y tienen los mismos dígitos, tienen el mismo dígito de la suma, por lo que tienen el mismo resto en la división por 9. Pero esto significa que su diferencia D es un múltiplo de 9, y que significa que los D dígitos de la suma es múltiplo de 9 (ya que debe dar el mismo resto en la división por 9 que D). Cuando un no-dígito cero está oculto, se va a reducir el dígito de la suma de D por que mucho, así que todo lo que tienes que calcular es el dígito de 1 a 9 (y tenga en cuenta que siempre habrá un único dígito - esta es la razón por la que el 'cero' restricción es no, porque de lo contrario no habría manera de decirle a un cero a partir de un nueve) para agregar el dígito de la suma de D para llevarlo a un múltiplo de 9.

Answer 2

Si usted está interesado en el concepto, escriba la frase "echar fuera nueves" en su motor de búsqueda de su elección.

En el ejemplo que usted dio, la idea básica es que usted sabe que $X$ $Y$ tienen el mismo resto al dividir por 9, ya que comparten los mismos dígitos¹. Por lo tanto, la diferencia debe ser un múltiplo de 9.

Ya sabemos que la suma de los dígitos de cualquier múltiplo de 9, es en sí un múltiplo de 9, se puede deducir que el último dígito. (En el caso de que la suma es en sí misma un múltiplo de 9, puede utilizar el hecho de que se escondió un no-dígito cero para deducir que el resto de los dígitos es en realidad un 9.)

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^{1 Para ver esto, observe que cualquier potencia de 10 tiene resto 1 al ser dividido por 9, y el uso de la aritmética modular.}