Relación entre grupos de homotopía de $S^n$ y grupos de homotopía de $SO(n)$, $O(n)$

Question

¿Cuál es la relación entre la homotopy grupos de esferas $S^n$ y el homotopy grupos de la especial ortogonal grupos $SO(n)$ (resp. $O(n)$)?

Esta pregunta se me ocurrió en el contexto de la clasificación de real del vector de paquetes de más de esferas a través de homotopy clases de mapas. Se puede demostrar que (ver, por ejemplo, Hatcher):
Para $k>1$, hay un bijection $$[S^{k-1},SO(n)]\longleftrightarrow Vect^n(S^k)$$ Aquí $[S^{k-1},SO(n)]$ denota el conjunto de homotopy clases de mapas de $S^{k-1}\to SO(n)$ $Vect^n(S^k)$ denota el conjunto de clases de isomorfismo de verdadero rango $n$ vector de paquetes de más de $S^k$. Además uno tiene que el mapa $$\pi_i(SO(n))\longrightarrow [S^i,SO(n)]$$ which ignores the basepoint data is a bijection, so one can essentialy classify real vector bundles over spheres via the homotopy groups of $PARA(n)$.

Yo también estoy interesado en los siguientes:
¿Cuál es la relación entre homotopy grupos de esferas y la clasificación de real del vector de paquetes de más de esferas?

Cualquier referencia (así como ejemplos) sería muy apreciada.

Answer 1

$O(n)$ es diffeomorphic 2 copias disjuntas de $SO(n)$, por lo que el homotopy grupos de $O(n)$ son los de $SO(n)$.

La relación entre el homotopy grupos de los ámbitos y $SO(n)$ provienen del haz de fibras $SO(n)\rightarrow SO(n+1)\rightarrow S^n$ que se lleva, es decir, la primera columna de una matriz en la $SO(n+1)$ y la considera como un vector unitario en $\mathbb{R}^{n+1}$.

En cualquier momento usted tiene un haz de fibras (o, más en general, un fibration), se obtiene una larga secuencia exacta de homotopy grupos. Una parte de ella es

$$...\rightarrow \pi_k(SO(n))\rightarrow\pi_k(SO(n+1))\rightarrow \pi_k(S^n)\rightarrow \pi_{k-1}(SO(n))\rightarrow ...$$

Entonces, por ejemplo, desde la $SO(2) = S^1$, esto indica que $SO(3)$ tiene el mismo homotopy grupos como $S^2$, salvo que $\pi_2(S^2) = \mathbb{Z}\neq \{0\}= \pi_2(SO(3))$.

Answer 2

Usted también podría estar interesado en la siguiente conexión: El J-homomorphism, puede ser considerado como una de morfismos de homotopy grupos de $SO(n)$ a la estable homotopy grupos de esferas. De hecho, su imagen siempre es un sumando directo de $\pi_{*}^s$. Por otra parte, esta tiene una profunda conexión con la denominada cirugía largo de la secuencia exacta en la cirugía de la teoría y la conexión entre estables homotopy teoría y enmarcado bordism.

Creo que los papeles originales de Adams ("En los grupos de $J(X)$") debe ser una referencia y, por supuesto, http://en.wikipedia.org/wiki/J-homomorphism .