Gavilla retorcida $\mathcal{F}(n)$.

Question

Que $\mathcal{F}$ ser un haz en un esquema $X$ y $OX(k)$ como de costumbre. Definimos $\mathcal{F}(n) = \mathcal{F} \otimes{O_X} OX(n)$, no comprender esta definición. ¿Qué es este producto del tensor? ¿Entonces, si podemos tratar de encontrar ejemplos, si $n=1$ y $\mathcal{F}=\mathcal{O}{\mathbb{A}^1k}$, que es $\mathcal{O}{\mathbb{A}^1k}(1)$? y $\mathcal{O}{\mathbb{A}^1_k}(n)$?

Answer 1

Como ya se ha señalado, la retorcida gavilla $\mathcal O(n)$ se define en primer lugar en espacio proyectivo $\mathbb P^r$. La forma básica que pensar es que la global secciones de $\mathcal O(n)$ $\mathbb P^r$ es, precisamente, precisamente, el espacio vectorial de polinomios homogéneos de grado $n$. Por lo $\mathcal O(n)$ es una manera de hablar sobre homogénea polinomios en una más forma geométrica.

Te preguntas cómo pensar acerca de $\mathcal F(n)$ para una coherente gavilla $\mathcal F$. Un ejemplo básico de una coherente gavilla es un ideal gavilla $\mathcal I_X$ cortar un poco de variedad proyectiva $X$$\mathbb P^r$. A continuación, $\mathcal I_X(n)$ será la gavilla cuya global secciones son polinomios homogéneos de grado $n$ que se desvanecen en $X$.

Para obtener un ejemplo de cómo utilizar estas ideas:

Supongamos que $X$ es un racionales de la curva de grado $3$ $\mathbb P^3$ (racionales de la curva significa que $X$ es isomorfo a $\mathbb P^1$). Grado $3$ significa que un genérico hyperplane en $\mathbb P^3$ recortes $X$ $3$ puntos, que se puede reformularse diciendo que $\mathcal O_X(1)$ es un grado $3$ invertible gavilla en $X$. Por lo tanto $\mathcal O_X(n)$ es un grado $3n$ invertible gavilla.

Tenemos la secuencia exacta corta $$0 \to \mathcal I_X \to \mathcal O_{\mathbb P^3} \to \mathcal O_X \to 0,$$ y si hacemos girar esto se convierte en $$0 \to \mathcal I_X(n) \to \mathcal O(n) \to \mathcal O_X(n) \to 0.$$ Tomando global secciones da a la izquierda de la secuencia exacta $$0 \to \text{degree $n$ hom. polys. vanishing on } X \to \text{ all degree $n$ hom. polys.} \to \Gamma( X, \text{degree $3n$ invertible sheaf}) $$ Ahora la dimensión del espacio de todos los grados $n$ hom. polys. en $4$ variables es $n+3 \choose 3$, mientras que el número de grados $3n$ hom. polys. en $2$ variables $3n+1$. Por lo que esta a la izquierda de la secuencia exacta puede escribirse como $$0 \to \text{degree $n$ hom. polys. vanishing on } X \to {n+3 \choose 3} \text{-dimensional vector space } \to (3n+1)~\text{-dimensional vector space}.$$

Así vemos que si $n \geq 2,$, entonces el espacio de grado $n$ hom. polys. de fuga en $X$ es distinto de cero, y a la conclusión de que, por ejemplo, cualquier racional cúbicos curva en $\mathbb P^3$ está contenida en un (posiblemente singular), quadric.

Hay muchos más ejemplos de este tipo en el Capítulo IV de Hartshorne, y que es un buen lugar para buscar para obtener una idea de cómo el uso de estas herramientas geométricamente.

Answer 2

Sólo tiene sentido hablar de $\mathcal F(k)$ $\mathcal O_X(k)$ si usted tiene una incrustación $i:X \hookrightarrow \mathbb P^n$ algunos $n$. A continuación, $\mathcal O_X(k)$ es el retroceso de la $k$'th giro de la estructura de la gavilla en $\mathbb P ^n$. En símbolos, $\mathcal O_X(k) := i^* \mathcal O_{\mathbb P ^n}(k)$. Para más detalles, consulte Hartshorne del libro, Capítulo II, sección 5 (página 120).

Por lo tanto, no tiene sentido hablar de la $\mathcal O_{\mathbb A^1}(k)$ sin especificar una incrustación $i:\mathbb A^1 \hookrightarrow \mathbb P ^n$ tal que $i ^* \mathcal O_{\mathbb P ^n}(k)$ es invertible (no estoy seguro si esto es posible).

Por ejemplo, considere el proyectiva de la línea de $\mathbb P ^1$. Puede ser comprendido como la homogeneidad de la puesta a cero de $\mathsf {Proj} \, k[x,y]$. Luego dar una gavilla en $\mathbb P ^1$ es equivalente a dar un graduado $k[x,y]$-módulo de $M$ y sheafify para obtener una gavilla $\mathcal F = \tilde M$. A continuación, $\mathcal F(n)$ se define como $\mathcal F \otimes \mathcal O_{\mathbb P^1}(n)$, pero esto es sólo $\tilde{ M(n)}$, el sheafification de la trenzado módulo. (Proposición 5.12 en Hartshorne, Capítulo II)

Para resumir: finitely generado gradual módulos corresponden coherente de las poleas en espacios proyectivos y su giro corresponde a la torsión de la calificación de los módulos. (recordemos que el trenzado módulo de $M(k)$ es el mismo módulo, pero con la clasificación de $M(k)_l = M_{l+k}$, por lo que el cero de la pieza de $M(k)$$M_k$)

Answer 3

Lo siento, pero creo que $OX(n)$ puede definirse cuando el esquema subyacente es proyectivo. Creo que el ejemplo adecuado puede ser $ $\mathcal{O}{\mathbb{P}^1_k}(1), y esto es haz de línea sólo tautológica que se hace de las partes una dgree del anillo del oringinal clasificado.