Deje $(X,\mathcal{M},\mu)$ un espacio donde: $X=\mathbb{R}$ $ \mu$ es la medida de Lebesgue. Tomar y abrir el intervalo de $O\supset A$, $\mu(A)>0$ y $B=O\setminus A$.
¿Existe un intervalo abierto $U$ tal que $\mu(A\cap U)>0$$\mu(B\cap U)=0$?
Como usted puede haber adivinado, soy muy principiante en esto. Sé que en general (por ejemplo, Un es un conjunto de Cantor con medida positiva) no existe un $U, \mu(U)>0$ tal que $(B\cap U)$ es un conjunto vacío, pero me parece que debe ser capaz de satisfacer $\mu(B\cap U)=0$ expresando $O$ como una contables de la unión de pares de distintos abrir los intervalos de $O_i$ tal que $$ O=\bigcup_{i=1}^\infty O_i$$ Entonces $$\mu(O)=\sum_{i=1}^\infty \mu(O_i) = \sum_{i=1}^\infty \mu(A\cap O_i) + \sum_{i=1}^\infty \mu(B\cap O_i)$$
Así que el quid parece ser, por lo menos uno de los sumandos, puede que el siguiente ser demostrado? $$\mu(O_i) =\mu(A\cap O_i) \Rightarrow \mu(B\cap O_i)=0$$
