¿Cómo demostrar que la suma de cuadrados es mínima?

Question

Dado $n$ valores no negativos. Su suma es $k$ . $$ x_1 + x_2 + \cdots + x_n = k $$ La suma de sus cuadrados se define como: $$ x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 $$

Creo que la suma de cuadrados es mínima cuando $x_1 = x_2 = \cdots = x_n$ . Pero no sé cómo probarlo. ¿Alguien puede ayudarme? Gracias.

Answer 1

CONSEJO : Por Cauchy-Schwarz sabemos que

$$\left(\sum x_i y_i\right)^2 \leq \left(\sum x_i^2\right) \left(\sum y_i^2\right)$$

Toma $y_i = 1$ para todos $i$ para obtener un límite inferior de $\sum x_i^2$ . Entonces demuestre que $x_i = \frac{k}{n}$ alcanza este límite.

Answer 2

Sea $c = k/n$ . Entonces, para todo $(x_1,\ldots,x_n)$ tal que $\sum_i x_i = k$ , $$ \newcommand{\s}{\sum_{i=1}^n} \s x_i^2 = \s (c + x_i - c)^2 = c^2 n + \s (x_i - c)^2 \>, $$ desde $2 \s c(x_i-c) = 0$ . El lado derecho se minimiza obviamente tomando $x_i = c$ para todos $i$ por lo que el resultado se deduce.

Answer 3

Creo que esto apesta a desigualdad AM-QM. El $x_i$ tienen una media aritmética fija de $\frac{k}{n}$ mientras que la media cuadrática: $$ \sqrt{\frac{x_1^2 + \cdots + x_n^2}{n}} $$ está limitada por debajo por ese mismo número, lo que significa que la suma de cuadrados está limitada por debajo por $\frac{k^2}{n}$ exactamente cuando el $x_i$ son todos iguales.

Answer 4

Puedes utilizar multiplicadores de Lagrange.

Queremos minimizar $\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}$ sujeto a la restricción $\sum_{i=1}^{n} x_{i} = k$ .

Establecer $J= \sum x_{i}^{2} + \lambda\sum_{i=1}^{n} x_{i}$ . Entonces $\frac{\partial J}{\partial x_i}=0$ implica que $x_{i} = -\lambda/2$ . Sustituyendo esto de nuevo en la restricción se obtiene $\lambda = -2k/n$ . Así $x_{i} = k/n$ como pensabas.

Answer 5

Si aún no conoces los multiplicadores de Lagrange, aquí tienes la idea que los sustenta.

Si $\{x_i\}_{i=1}^n$ es un punto crítico, entonces para cada vector $\{u_i\}_{i=1}^n$ para que $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\sum_{i=1}^n(x_i+tu_i)=0\tag{1} $$ en $t=0$ también tenemos $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\sum_{i=1}^n(x_i+tu_i)^2=0\tag{2} $$ en $t=0$ .

Evaluación de $(1)$ y $(2)$ esto significa que para cada $\{u_i\}_{i=1}^n$ para que $$ \sum_{i=1}^nu_i=0\tag{3} $$ también tenemos $$ \sum_{i=1}^nx_iu_i=0\tag{4} $$ Esto significa que $x$ es perpendicular al espacio de todos los vectores perpendiculares a $v$ donde $v_i=1$ . Esto significa que $x$ está en el subespacio abarcado por $v$ . Así, el $x_i$ son todos iguales, y por lo tanto, $x_i=k/n$ .