¿Existe algún teorema sobre las figuras de igual área y perímetro que sean congruentes?

Question

Tuve una idea, que todos los objetos geométricos, que son diferentes, ya que no son una traducción, la rotación, y una reflexión de uno a otro no puede tener la misma área y el perímetro, en comparación con el uno al otro. No pueden ser CONGRUENTES.

Si las formas son similares no hay formas similares pueden contradecir esta "idea", o eso es lo que pienso.

Sé que hubo alguna idea sobre esto, ¿hay algún teorema, o idea específica, que exprese esto?

Answer 1

Contraejemplo sin palabras (excepto estas):

Answer 2

Esta idea es errónea, por muy atractiva que sea.

Consideremos un polígono con $n$ lados desiguales. Las longitudes de los lados determinan el perímetro, por lo que cualquier reordenación de los lados da el mismo perímetro.

Por otro lado, cualquier disposición de los lados que inscriba el polígono en un círculo maximiza el área contenida por el polígono. El área máxima es independiente del orden de los lados, e incluso dada la reflexión y la rotación, habrá $n!/(2n)$ tales acuerdos, es decir $(n-1)!/2$ polígonos no congruentes, que tienen la misma área y perímetro.

Por otro lado, si nos limitamos a dos cifras que son similar es una restricción muy estrecha. Se tiene un único parámetro de escala para variar entre las figuras. En esa configuración o bien basta con que el área sea igual o el perímetro sea igual para que las figuras sean congruentes.

Para un ejemplo de dos polígonos con diferente número de lados, digamos 4 lados frente a 6 lados, considera un perímetro de seis y un área de dos. Podemos conseguirlo con un rectángulo de tamaño $2 \times 1$ . Para igualar el perímetro partimos de un hexágono regular con lados de longitud unitaria, que tendrá un área $\frac{3\sqrt{3}}{2} \gt 2$ . Podemos mantener el perímetro en seis, pero reducir el área a dos "apretando" un par de lados opuestos (paralelos). La distancia exacta entre estos dos lados para obtener el área seis se puede encontrar resolviendo una ecuación cúbica, pero claramente el movimiento de acercar los lados podría lograr cualquier área entre la del hexágono regular y cero (a medida que los dos lados se acercan arbitrariamente).

Answer 3

Otro contraejemplo sin palabras: