Prueba de subjetividad de funciones

Question

Tengo una pregunta:

Demostrar que una función $f:X\rightarrow Y$ i conjunto finito $Z$ y cualquier función $g:Z\rightarrow Y$ t función $h:Z\rightarrow X$ tal que $g$ es su composición: $f \circ h = g$ . Supongamos que $X,Y$ también son finitos.

¿Puede alguien mostrarme cómo completar esta prueba? Tengo problemas para demostrar la dirección hacia delante, y creo que mi trabajo sobre la dirección hacia atrás (abajo) puede no ser lo suficientemente riguroso.

Si $f:X \rightarrow Y$ es suryectiva, entonces para cualquier $g:Z \rightarrow Y$ existe $h:Z \rightarrow X$ s.t. $f \circ h = g$ . Podemos demostrar que esto es así: sabemos que hay algún $y' \in Y$ s.t. $g(z') = y'$ donde $z' \in Z$ . También sabemos que para el mismo $z'$ hay algo de $x' \in X$ s.t. $h(z') = x'$ ya que podemos definir $h$ como tal. Así que podemos definir $f:X\rightarrow Y$ como la asignación de cada $x'$ a $y'$ es decir $f(x')=y'$ Así que $\forall y \in Y, \exists z \in Z s.t. f(h(z)) = y$ .

Answer 1

Resulta que no es necesario $X,Y$ ser finito.

Para la dirección de avance, supongamos que $f:X\to Y$ es suryectiva, que $Z$ es finito, y que $g:Z\to Y.$ Debemos definir $h:Z\to X$ tal que $f\circ h=g$ . En concreto, necesitamos $f(h(z))=g(z)$ para cada $z\in Z.$ Desde $g:Z\to Y$ y puesto que $f:X\to Y$ es suryectiva, entonces para cada $z\in Z$ hay algo de $x\in X$ tal que $f(x)=g(z).$ Es decir, el conjunto $R_z:=\{x\in X:f(x)=g(z)\}$ no es vacío para todo $z\in Z$ . Desde $Z$ es finito, entonces podemos elegir $x_z\in R_z$ para todos $z\in Z,$ y definir $h(z)=x_z,$ que fácilmente tendrá la propiedad deseada, como puedes (y debes) demostrar.

Sugerencia para el retroceso : Supongamos que para cualquier conjunto finito $Z$ y cualquier función $g:Z\to Y$ existe una función $h:Z\to X$ tal que $f\circ h=g.$ En concreto $Z$ sea un conjunto de un elemento. La hipótesis debe permitirte concluir directamente que cada elemento de $Y$ está en el rango de $f$ .