N! termina con exactamente el 30 de ceros?

Question

Cómo muchos de los valores de N existe, tal que N! termina con exactamente el 30 de ceros?

Answer 1

El número de ceros en el y de $n!$ es el número de factores de $5$ $n!$ (ya que el número de factores de $2$ $n!$ es siempre mayor que). Por lo tanto, tenemos todos los $n$ de manera tal que el número de $1$$n$, de un total de $30$ factor de $5$. Una primera conjetura sería $30\cdot 5=150$, pero luego nos olvidamos de que los múltiplos de $5^2=25$ tiene (al menos) dos de los factores de $5$. Desde allí se $5$ múltiplos de $25$ bajo $150$, debemos tratar de $n=125$. Los números por debajo de $125$ , de un total de $$\frac{120}{5}+\left\lfloor\frac{120}{25}\right\rfloor=24+4=28<30$$ factores de $5$. Si incluimos $125=5^3$, el número de factores aumenta con la $3$, por lo que se convierte en $31>30$. Por lo tanto, nos encontramos con que no hay $n$ tal que $n!$ $30$ factores de $5$ o s.t. $n!$ termina con $30$ ceros.

Answer 2

Como se explica en esta respuesta, para un primer $p$, el número de factores de $p$ $n!$ es $$ \frac{n-\sigma_p(n)}{p-1} $$ Así como una estimación, podemos usar $n/4$ para el número de factores de $5$ que dividen $n!$. Para $30$ ceros, nos gustaría probar $n=120$ ($440_\text{five}$). $$ \frac{120-8}{5-1}=28 $$ Ya no hay factores de $5$ se agregan hasta $n=125$ ($1000_\text{five}$), y que se suma a$3$, $31$ factores de $5$: $$ \frac{125-1}{5-1}=31 $$ Por lo tanto, no hay valores enteros de a$n$, de modo que $n!$ termina en $30$ ceros (en decimal).