¿Cómo calcular el $f'(0)$ y $f'$ $(\sqrt{2})$ y $f(x)$ = $\int_{x}^{x^3} e^{t^{2}}dt\ $?

Question

Cómo calcular el $f'(0)$ y $f'$ $(\sqrt{2})$ mientras $f(x)$= $\int_{x}^{x^3} e^{t^{2}}dt\ $?

Pensé acerca de cómo utilizar el teorema fundamental del cálculo, pero no estoy seguro de im plenamente consciente de cómo utilizar en este caso.

cualquier tipo de ayuda/dirección, se agradece.

Answer 1

Sí, puedes usar el teorema fundamental. Deje $F(x) = \int_a^x e^{t^2}\ dt$. Entonces

$$f(x) = F(x^3)-F(x) = \int_x^{x^3} e^{t^2} \ dt$$

Así

$$f'(x) = F'(x^3)\cdot 3x^2 - F'(x)$$

donde por el teorema fundamental,

$$F'(x) = e^{x^2}$$

Answer 2

Algunas sugerencias. El Teorema Fundamental dice que $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\int_0^ue^{t^2}\,\mathrm{d}t=e^{u^2}\etiqueta{1} $$ Deje $u=x^3$, luego $$ \begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_0^ue^{t^2}\,\mathrm{d}t &=\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\int_0^ue^{t^2}\,\mathrm{d}t\\ &=3x^2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\int_0^ue^{t^2}\,\mathrm{d}t\tag{2} \end{align} $$ A continuación, tenga en cuenta que $$ \int_x^ue^{t^2}\,\mathrm{d}t=\int_0^ue^{t^2}\,\mathrm{d}t\int_0^xe^{t^2}\,\mathrm{d}t\etiqueta{3} $$