Definición: Dejar $X$ ser un espacio de Banach y $I$ la identidad del operador en $X$. Una familia $\{T(t)\}_{t\geq 0}$ de los delimitada lineal de operadores de $X$ a $X$ es un semigroup de limitada operador lineal en $X$ si
(i) $T(0)=I$;
(ii) $T(t + s)= T(t)T(s)$ por cada $t,s\geq 0$.Un semigroup $\{T(t)\}_{t\geq0}$ de los delimitada lineal de operadores es uniformemente continua si $$\lim_{t\downarrow 0}\|T(t)-I\|=0.\;\;\;\;(*)$$
La Pazy del libro dice: "a partir de la definición es claro que si $\{T(t)\}_{t\geq 0}$ es uniformemente continua semigroup de limitada lineal de operadores, a continuación, $\lim_{s\to t}\|T(s)-T(t)\|=0$" (página 1).
Para mí, esta igualdad no es tan clara. Podría alguien ayudarme a probarlo? Estoy tratando de mostrar que $$\lim_{s\to t^+}\|T(s)-T(t)\|=\lim_{s\to t^-}\|T(s)-T(t)\|=0.$$
Si no me equivoco, a partir de la definición podemos concluir que, para todos los $h>0$,
$$0\leq \|T(t+h)-T(t)\| \overset{(ii)} =\|T(t)T(h)-T(t)\| \leq \|T(t)\|\|T(h)-I\|$$
Ahora, observe que
$$\lim_{h\to 0^+}\|T(t)\|\|T(h)-I\|=\|T(t)\|\lim_{h\downarrow 0}\|T(h)-I\| \desbordado{(*)}=\|T(t)\|\;0=0$$
Por lo tanto (por el teorema del sándwich),
$$\lim_{s\to t^+}\|T(s)-T(t)\| =\lim_{h\to 0^+}\|T(t+h)-T(t)\| = 0$$
Mi pregunta es: cómo probar que $\lim_{s\to t^-}\|T(s)-T(t)\|=0$?
Gracias.
Respuesta
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Desde $\Vert T(t)-I\Vert\to 0\,$ $t\to 0^+$, uno puede encontrar $\delta >0$ tal que $\Vert T(t)\Vert\leq 2$ % todos $t\in [0,\delta]$. Por la propiedad facilitándole, sigue que $(T(t))$ está delimitado uniformemente en cualquier intervalo compacto $[0,A]$. De hecho, si $n\in\mathbb N$ es tal que el $n\delta>A$, entonces el $\Vert T(t)\Vert\leq 2^n$ $[0,n\delta]$ y por lo tanto en $[0,A]$.
Ahora, fijar $t_0>0$ y elegir $C$ tal que $\Vert T(t)\Vert\leq C$ $[0,t_0]$. Para cualquier $t\in [0, t_0]$ puede escribir $T(t)-T(t_0)=T(t)\left (I-T(t_0-t)\right)\, ,$ lo que $$\Vert T(t)-T(t_0)\Vert\leq \Vert T(t)\Vert\, \Vert I-T(t_0-t)\Vert\, \leq C\, \Vert I-T(t_0-t)\Vert\, .$$ Since $T(t_0-t) # \to I$ as $t\to t_0 ^-$, this shows continuity on the left at $ t_0$.
