Deje $R$ ser un anillo, $M$ ser un finitely generadas $R$-módulo. Definamos $e(M)$ a ser el mínimo de número de generadores de $M$. Claramente, para finitely generadas $R$-módulos de $M,N$ hemos
$\mathrm{max}(e(M),e(N)) \leq e(M \oplus N) \leq e(M) + e(N).$
Pregunta A. hay mejor límites, o es cada valor entre posibles para $e(M \oplus N)$?
Por ejemplo, hay anillos de $R \neq 0$ tal que $R \oplus R \cong R$ $R$- módulos, de modo que $e(R \oplus R)=1$. Pero para un anillo conmutativo $R \neq 0$,$e(R \oplus R)=2$. La siguiente pregunta es más interesante para mí:
Pregunta B. Deje $R$ ser conmutativa anillo, que tiene sólo trivial idempotents (ver el comentario por navigetor23). De lo anterior se sigue que el $e(M \oplus N) = e(M) + e(N)$?
Si esto resulta ser falsa, de que las condiciones adicionales que deben ser impuestas en $R$? Por ejemplo, debería bastar con que $R$ es un PID, ¿verdad? Pero esto es muy fuerte.
