Resolver para sin(x)+sin(2x)+sin(3x)+...+sin(nx)=x

Question

La pregunta es $\sin (x)+\sin(2x)+.....+\sin(nx)=x$ donde $n$ es cualquier número natural. He utilizado la fórmula de Moivre para obtener la suma de $\sin(x)+\sin(2x)+...+\sin(nx)$ y lo diferencié para obtener

$$ n\sin(x)\sin(nx) \;\;= \;\;3-2\cos(x)+[n\cos(x)-n-1]\cos(nx). $$

Pero no sé cómo seguir resolviendo para $x$ .

Answer 1

Las ecuaciones que mezclan términos polinómicos y trigonométricos no presentan soluciones de forma cerrada y sólo los métodos numéricos podrían resolver el problema.

Para el caso del puesto, primero hay que partir de la identidad clásica $$S_n(x)=\sum_{k=1}^n \sin(kx)=\csc \left(\frac{x}{2}\right) \sin \left(\frac{n }{2}x\right) \sin \left(\frac{n+1}{2} x\right)$$ cuya derivada es $$S'_n(x)=\sum_{k=1}^n k \cos(kx)=\frac{1}{4} \csc ^2\left(\frac{x}{2}\right) ((n+1) \cos (n x)-n \cos ((n+1) x)-1)$$ Así, la ecuación es $$f(x)=S_n(x)-x=0$$ y, si se utiliza el método Newton $$f'(x)=S'_n(x)-1$$ Si se observan las parcelas de $S_n(x)$ y $x$ se dará cuenta de que no hay solución para $n=1$ y que para $n>1$ la primera raíz está cada vez más cerca de $0$ cuando $n$ aumenta y que el número total de raíces es bastante limitado. Localiza una raíz y utiliza a Newton.

Por supuesto, no consideré la solución trivial $x=0$ .

A modo de ejemplo, consideremos el caso en el que $n=6$ (el valor más pequeño de $n$ para el que sólo existe una raíz). Por inspección, podemos ver que la solución se acerca a $\frac{\pi}4$ . Por lo tanto, utilice Newton con $x_0=\frac{\pi}4$ . El método generará entonces los siguientes iterados : $0.777529$ , $0.777656$ que es la solución para seis cifras significativas.

Para $n=9$ se observan tres raíces positivas cerca de $0.6$ , $0.8$ y $1.1$ . Apliquemos el mismo método para la raíz media. El método generará entonces los siguientes iterados : $0.793710$ , $0.793697$ que es la solución para seis cifras significativas.