Demostrar Poissons teorema de

Question

Deje $(\Omega, \Sigma, \mathbb{P})$ ser un espacio de probabilidad. Si $A_1, A_2, \ldots$ eventos son independientes y $\bar{p}_n$ $N$ se definen como $$ \bar{p}_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\mathbb{P}(A_i) \quad \text{and} \quad N_n=\sum_{i=1}^n \mathbf{1}_{A_i}$$ a continuación, $\frac{N_n}{n}-\bar{p}_n \to 0$ en la probabilidad.

Este problema es de Billingsley (3ª edición, #6.5). Actualmente tengo las leyes de los grandes números a mi disposición, pero desde la secuencia de aquí no soy yo.yo.d., Creo que es necesario invocar más pesada maquinaria. Gracias por la ayuda!

Answer 1

Esto es una consecuencia de la desigualdad de Chebyshev. Fix $\delta > 0$. Entonces a partir de la $\mathbb E(N_n/n) = \overline p_n$, $$ \mathbb P \left( \left| \frac{N_n}n - \overline p_n \right| \ge \delta \right) \le \frac{\mathrm{Var}(N_n/n)}{\delta^2}. $$ Basta mostrar ahora que la varianza de $N_n/n$$0$. No es difícil mostrar que $f : [0,1] \to \mathbb R$ definido por $x \mapsto x(1-x)$ tiene un máximo en$x = 1/2$, lo que implica $f(x) \le 1/4$. Ahora $$ \mathrm{Var}(N_n) = \sum_{i=1}^n \mathrm{Var}(\mathbb 1_{A_i}) = \sum_{i=1}^n \mathbb P(A_i)(1-\mathbb P(A_i)) \le \frac n4, $$ por lo tanto $\mathrm{Var}(N_n/n) \le \frac 1{4n} \to 0$.

Espero que ayude,

Answer 2

Sugerencia: calcular $$\mathbb E\left(\frac 1n\sum_{i=1}^n\{\chi_{A_i}-\mu(A_i)\}\right)^2.$$