El valor máximo de la función de dos variables dado algunas limitaciones.

Question

Vamos a:

$$f(x,y)=x^2+2y^2$$

Es necesario para obtener el valor máximo de la función anterior sujeto a la restricción $$y-x^2+1=0.$$

Sé cómo maximizar una función de dos variables usando la costumbre de cálculo método de búsqueda de las derivadas parciales. Pero dada una restricción, no tengo idea de cómo proceder. Una cosa que he intentado es obtener el valor de $x^2$ a partir de la restricción y sustitución de la misma para las dos variables de la función. De esa manera, me sale una función de variable que es totalmente dependiendo $y$. A continuación, he intentado diferenciar la expresión obtenidos con respecto a $y$. Esto no me da el resultado deseado y yo estoy atrapado aquí. Cualquier ayuda sería muy beneficioso para mí. Gracias.

Answer 1

Sustituyendo $x^2$ de la restricción de la ecuación:

$f(y)= y+1+ 2y^2.$

Esta función no está acotada por arriba .

Answer 2

$$x^2=y+1$$

y la función objetivo de convertirse en $$f(y)=y+1+2y^2$$ where we require $y \geq -1$. Notice that $f(y)$ es una función convexa.

$$f'(y)=4y+1$$

Por tanto, el punto de inflexión está en $-\frac14$ y la función de $y$ aumenta a $\infty$ después de eso.

En particular, vamos a $(x,y)=(\sqrt{y+1},y)$ donde$y>0$, $f(x,y)=y+1+2y^2$ y puede ser arbitarily grande y la restricción está satisfecho.

Para entender este geométricamente, trazar la curva de $y=x^2-1$ y observe que la curva puede ir arbitrariamente lejos del origen, es decir, $(x^2+y^2)+y^2$ puede ser arbitrariamente grande.

Answer 3

por simplificación se puede considerar la función de $$h(y)=y+1+2y^2$$