si por cualquier motivo

Question

Deje $D$ ser un subconjunto de y denso en $L_2$. Si $\langle f,g\rangle<C\|g\|_{L_2}$ por una constante $C$ y cualquier $g\in D$, $f$ debe ser en $L_2$.

He leído esta declaración en papel. Creo que es justo, porque el siguiente argumento tiene sentido. El hecho de que $\langle f,g\rangle< C\|g\|_{L_2}$ cualquier $g\in D$ implica que el $f$ es un funcional lineal en $L_2$. Se sabe que el doble de $L_2$$L_2$. Por lo tanto $f$ debe ser en $L_2$. Este argumento no es riguroso y creo que la dualidad de $L_2$ es un poco demasiado avanzado para esta declaración. Alguien podría dar una sugerencia de un elemental de la prueba que no requiere de la dualidad de la propiedad?

Si es necesario, $D$ es el conjunto de funciones de soporte compacto en $C^{\infty}$$\langle f,g\rangle=\int f\bar{g}$. Podemos considerar el problema en $L_2(\mathbb{R})$. Pero supongo que lo $D$ es exactamente no importa, excepto que es denso en $L_2$.

Answer 1

Como se explica en los comentarios, el resultado no es cierto como se indica. Para un contraejemplo diferentes, tomar $f \in L^1(0,1) \setminus L^2(0,1)$ y $D = L^\infty(0,1)$.

Sin embargo, es cierto si además necesita $\langle f, g\rangle \le C |g|{L^2}$. Entonces,$f$es continua en$(D,|\cdot|{L^2})$y prorrogable únicamente a una funcional en$L^2$por densidad de$D$. Por lo tanto, es$F \in L^2\langle f, g\rangle = \langle F, g\rangle$% todos$g \in D$. Ahora, puede utilizar la densidad de$D$otra vez para obtener$f = F$.