¿Podría tener sentido la dimensión negativa?

Question

Después de una rápida comprobación he encontrado que las dimensiones negativas no se utilizan. Pero tenemos probabilidad negativa, energía negativa, etc. Entonces, ¿es tan probable que no se utilicen nunca las dimensiones negativas?

Actualización

Tengo entendido que también hay dimensiones que no son enteras, por ejemplo, la dimensión 1½ (?) para los fractales o algo así. ¿Podría haber también una dimensión como la dimensión i (imaginaria)?

Answer 1

La noción de dimensión negativa ha aparecido en varios lugares de la física moderna. Por ejemplo:

1. Variables de Grassmann-impar. Recordemos que la dimensión ${\rm dim}(V)$ de una representación de grupo $\rho: G \to GL(V)$ viene dada por la traza ${\rm dim}(V)={\rm Tr}(\rho(1))$ del elemento de identidad. Para un supergrupo, se debe utilizar el supertrace por lo que las direcciones de Grassmann-impar pueden considerarse en cierto sentido como de dimensión negativa. Véase también, por ejemplo, la Ref. 1.

2. K-teoría que es relevante, por ejemplo, para la teoría de cuerdas y el efecto Hall cuántico entero. A través de la Grupo Grothendieck construcción para la conmutativa monoide de los haces vectoriales, es posible dar sentido a cómo restar un haz vectorial.

Referencias:

1. G. Parisi y N. Sourlas, Campos magnéticos aleatorios, supersimetría y dimensiones negativas, Phys. Rev. Lett. 43 (1979) 744 .

Answer 2

La dimensión de un espacio vectorial (de dimensión finita) se define como la cardinalidad de una base del espacio vectorial. Como la cardinalidad no puede ser negativa, la dimensión negativa de los espacios vectoriales no tiene sentido. Lo mismo ocurre con los colectores, porque son localmente defeomorfos a los espacios vectoriales. Sin embargo, si se considera la dimensión como el valor de algún tipo de integración que, en el caso de los espacios vectoriales, coincide con la definición anterior, entonces es posible una dimensión negativa (por ejemplo, se pueden utilizar todo tipo de medidas para la integración, negativas, complejas, etc.). Pero ciertamente es un mal uso de la palabra "dimensión".

Answer 3

Hay pilas algebraicas, que generalizan las variedades algebraicas, y pilas diferenciables, que generalizan las variedades lisas. Cada variedad o colector puede considerarse como una pila, y su dimensión como pila es la misma que su dimensión como variedad/manifold. Pero hay muchas pilas que no corresponden a variedades/manifolds, y algunas de ellas tienen dimensión negativa.

En concreto, si $V$ es una variedad/manifold, y $G$ es un grupo algebraico/Lie que actúa sobre $V$ entonces podemos formar la pila de cocientes $[V/G]$ y tenemos $$\dim(V/G)=\dim(V)-\dim(G)$$ que bien puede ser negativo.

Answer 4

Una forma de verlo es que en cualquier espacio, la magnitud de cualquier elemento de volumen cambia en proporción a la magnitud de una longitud dentro de ese elemento de volumen, elevada a la potencia de la dimensión del espacio que contiene el elemento de volumen. Otra posibilidad es, $\log(v)$ es proporcional a $d \log(l)$ ; donde $v$ es la magnitud del elemento de volumen, $l$ es la magnitud de la longitud considerada dentro del elemento de volumen, y d es la dimensión del espacio que contiene el elemento de volumen. Así pues, tenemos $d = C \log(v)/\log(l)$ , donde $C$ es una constante arbitraria.

Teniendo en cuenta ese tipo de definición de dimensión, es posible contemplar espacios de dimensión fraccionaria, pero no sé qué pensar de la idea de un espacio de dimensión negativa.

Answer 5

Cualquier cosa que tenga una dirección y una magnitud puede ser una dimensión.