función exponencial

Question

Rudin en su PMA define: $$E(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{z^n}{n!} \quad (z\in \mathbb{C}) \qquad (1) escribe que «estos límites se deduce directamente (1)"

1) $E(x)\to +\infty$ $x\to +\infty$.

2) $\dfrac{E(h)-1}{h}\to 1$ $h\to 0$.

No entiendo cómo sigue directamente de (1). Alguien puede explicarme estos límites, por favor.

Answer 1

SUGERENCIA:

Para real-valores de $x$ y $x\ge0$, tenemos

$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\ge 1+x$$

Además, contamos con

$$\frac{E(h)-1}{h}=1+\frac12h+O(h^2)$$

Por otra parte, tenemos $h

$$1+h \le E(h)\le \frac{1}{1-h}$$

desde $\frac{1}{1-h}=\sum_{n=0}^{\infty}h^n$. Por lo tanto,

$$1\le \frac{E(h)-1}{h}\le \frac{h}{1-h}$$

A continuación, utilice el teorema del apretón.

Answer 2

Puede probar que $\lim \limits_{h\to 0}\frac{E(h)-1}{h}=1$ directamente de la definición de límite.

Que $\epsilon>0$ ser dado tendremos tomando $\delta=\min {\epsilon,1}$ para cualquier $h\in \mathbb{R}$ $|h|