un "retoque" a una serie infinita - ¿todavía convergente?

Question

supongamos que para una secuencia de reales $(x_t)_{t\in\mathbb{N}}$ sostiene que $\frac{1}{T}\sum_{t=1}^T x_t \rightarrow 0$ , para $T\rightarrow \infty$ . ¿Cómo puedo demostrar (lo siento, esto puede ser una pregunta embarazosa) que $\frac{1}{T^2}\sum_{t=1}^T t x_t \rightarrow 0$ , para $T\rightarrow \infty$ ? Muchas gracias por cualquier ayuda, se agradece mucho.

Answer 1

No me parece una pregunta embarazosa.

Sugerencia $$\frac 1 {T^2} \sum_{t=1}^T t x_t = \operatorname{Average}\left\{\frac 1 T \sum_{t=1}^T x_t, \frac 1 T \sum_{t=2}^T x_t, \ldots, \frac 1 T \sum_{t=T}^T x_t \right\}$$

Answer 2

Además de la sugerencia de Yoni, parece que sigue siendo un poco complicado, estuve jugando con estimaciones de la forma

$\left| \frac{1}{T} \sum_{t=k}^T x_t \right| - \left| \frac{1}{T} \sum_{t=1}^{k-1} x_t \right| \leq \left| \frac{1}{T} \sum_{t=1}^T x_t \right| < \epsilon $

y utilizando dos estimaciones:

$\left| \frac{1}{T} \sum_{t=1}^{k} x_t \right| \leq \begin{cases} \epsilon k/T & k>k_0 \\ kM/T & k \leq k_0 \end{cases}$

donde $M$ es un límite para el $|x_t|$ . Aquí $k_0$ es el umbral a partir del cual para $T > k_0$ , $\left| \frac{1}{T} \sum_{t=1}^T x_t \right| \leq \epsilon$

Entonces, si $T$ es lo suficientemente grande, creo que todo en la media de Yoni se puede bajar por debajo de un objetivo $\epsilon$ (¿cuál debe ser el tamaño de $T$ ¿ser? $T$ para lo cual $k_0 M/T < \epsilon$ )