Demostrar que $\{S(t)\}_{t \ge 0}$ no es un semigrupo de contracción en $L^\infty(\mathbb{R}^n)$

Question

Definir para $t > 0$ $$[S(t)g](x) = \int_{\mathbb{R}^n} \Phi(x-y,t)g(y) \, dy \quad (x \in \mathbb{R}^n),$$ donde $g : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ y $\Phi$ es la solución fundamental de la ecuación del calor. También se establece $S(0)g=g$ .

(a) Demostrar $\{S(t)\}_{t \ge 0}$ es un semigrupo de contracción en $L^2(\mathbb{R}^n)$ .

(b) Mostrar $\{S(t)\}_{t \ge 0}$ es no un semigrupo de contracción en $L^\infty(\mathbb{R}^n)$ .

De PDE Evans, 2ª edición: Capítulo 7, Ejercicio 14. Estoy haciendo la parte (b). Esta pregunta es una continuación de mi pregunta anterior .

Para la parte (b) del problema, estoy buscando $\|[S(t)]g\|_{L^\infty(\mathbb{R}^n)}=\text{ess sup}|S(t)g|$ . ¿Tendría que demostrar que $\|[S(t)]g\|_{L^\infty(\mathbb{R}^n)}=+\infty$ para que la desigualdad $\|[S(t)]g\|_{L^\infty(\mathbb{R}^n)}\le\|g\|_{L^\infty(\mathbb{R}^n)}$ no puede ocurrir? Si es así, entonces esto haría $$\|[S(t)]g\|_{L^\infty(\mathbb{R}^n)}=\text{ess sup}|[S(t)g]|=\text{ess sup}\left|\int_{\mathbb{R}^n}\Phi(xy)g(y)dy\right|=+\infty,$$ Creo.

Answer 1

$S(t): L^\infty \to L^\infty$ es efectivamente una cartografía de contracción, pero $t \mapsto S(t)u$ no tiene por qué ser continua en $L^\infty$ en $t = 0$ . Por ejemplo, tome $n = 1$ y $$u(x) = \begin{cases} 1 \quad (x > 0) \\ 0 \quad (x \le 0) \end{cases} \, .$$ Entonces $S(t)u(x) = \Phi(\frac{x}{\sqrt{t}})$ donde $\Phi = S(1)u$ . Es fácil ver que $\Phi$ es continua y $\Phi(0) = \frac{1}{2}$ . Por lo tanto, $S(t)u$ está cerca de $1/2$ cerca de $x = 0$ para todos $t > 0$ y $\|S(t)u - u\|_\infty = \frac{1}{2}$ para todos $t > 0$ .