Definir para $t > 0$ $$[S(t)g](x) = \int_{\mathbb{R}^n} \Phi(x-y,t)g(y) \, dy \quad (x \in \mathbb{R}^n),$$ donde $g : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ y $\Phi$ es la solución fundamental de la ecuación del calor. También se establece $S(0)g=g$ .
(a) Demostrar $\{S(t)\}_{t \ge 0}$ es un semigrupo de contracción en $L^2(\mathbb{R}^n)$ .
(b) Mostrar $\{S(t)\}_{t \ge 0}$ es no un semigrupo de contracción en $L^\infty(\mathbb{R}^n)$ .
De PDE Evans, 2ª edición: Capítulo 7, Ejercicio 14. Estoy haciendo la parte (b). Esta pregunta es una continuación de mi pregunta anterior .
Para la parte (b) del problema, estoy buscando $\|[S(t)]g\|_{L^\infty(\mathbb{R}^n)}=\text{ess sup}|S(t)g|$ . ¿Tendría que demostrar que $\|[S(t)]g\|_{L^\infty(\mathbb{R}^n)}=+\infty$ para que la desigualdad $\|[S(t)]g\|_{L^\infty(\mathbb{R}^n)}\le\|g\|_{L^\infty(\mathbb{R}^n)}$ no puede ocurrir? Si es así, entonces esto haría $$\|[S(t)]g\|_{L^\infty(\mathbb{R}^n)}=\text{ess sup}|[S(t)g]|=\text{ess sup}\left|\int_{\mathbb{R}^n}\Phi(xy)g(y)dy\right|=+\infty,$$ Creo.
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No sé por qué te han votado en contra por esta pregunta tan razonable y bien pensada. Me sorprende mucho que no sea un mapa de contracción en $L^{\infty}$ .