Encontrar soluciones del número entero a $3^y = x^2 + 56$

Question

La pregunta original es lo que pide el siguiente:

Encontrar todos los pares ordenados de enteros positivos $(x, y)$ que $3^y = x^2 + 56$.

He encontrado una solución que creo que es la única solución, pero yo estoy luchando para demostrar que es la única solución. $(5,4)$

Cuando veo a un problema como este, que inicialmente se piensa para el uso de la aritmética modular para encontrar el patrón de la respuesta. Por ejemplo, tomando a cada lado de la ecuación $\mod 4$ muestra que $x$ debe ser impar y $y$ debe ser par. $\mod 3$ muestra que $x$ no es divisible por $3$.

Usando una hoja de cálculo y ejecución de todas las $\mod \ $$2$$81$, y mirando los restos de $x = 1$ $250$muestra que $x = 5$ es la única solución posible, pero obviamente esto no es una prueba. Estoy luchando por encontrar los pasos necesarios para probar esta respuesta.

También he simplificado la ecuación para tener $y=\frac{\ln(x^2+56)}{\ln(3)}$, pero no sé cómo mostrar el único momento en el $y$ es un número entero es al $x=5$. (Tal vez estoy equivocado y es más existen soluciones). Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Desde $y>0$, $x$ debe ser impar. También, como usted dice, ya que $3^y\equiv_4(-1)^y\equiv_4 x^2+56\equiv_4 0$, $y$ debe ser par. Observe que $$3^{y}-x^2=(3^{\frac{y}{2}}-x)(3^{\frac{y}{2}}+x)=56=2^3\cdot7$$

Así que hay sólo un número finito de soluciones, desde la $3^{\frac{y}{2}}+x>0$ divide $56$ (y hasta atmost 8 valores, ya que 56 tiene 8 divisores).

Por lo general, si $a\cdot b=c$$a\geq b$, el menor valor de $a$ $\sqrt{c}$ (uno puede demostrar que esta por contradicción). Desde $3^{\frac{y}{2}}+x$ es el factor más grande, es atleast $\sqrt{56}\approx 7.48>7$. Así que usted sólo tiene que comprobar los casos: $$3^{\frac{y}{2}}+x=14=2\cdot 7$$ $$3^{\frac{y}{2}}+x=28=2^2\cdot 7$$ $$3^{\frac{y}{2}}+x=56=2^3\cdot7$$

El primer caso es la solución de $(5,4)$. No estoy seguro de cómo se escribe el resto en una prueba formal, pero creo que el uso de un equipo (y de referencia para los cálculos) está bien, ya que hay sólo un número finito de soluciones.