Muestre que$\int_0^1\frac{\ln(x)^n}{x-1}dx=(-1)^{n+1}n!\zeta(n+1)$, para$n\geq 1$

Question

Deseo encontrar un formulario cerrado de la siguiente integral:$I_n =\int_0^1\frac{\ln(x)^n}{x-1}dx$, para$n\geq 1$.

Mi intento fue evaluar, usando series:$I_1,I_2,I_3,I_4$ y noté un patrón:$$I_1=\zeta(2)\\I_2=-2\zeta(3)\\I_3=2.3\zeta(4)\\I_4=-2.3.4\zeta(5)\\I_5=2.3.4.5\zeta(6)$ $ ¿Podemos deducir que$I_n=(-1)^{n+1}n!\zeta(n+1)$? Cómo probarlo?

Answer 1

Al imponer la sustitución$x=e^{-t}$ y usar la integración por partes, o simplemente por el truco de Feynman, tenemos eso para cualquier$k,n\in\mathbb{N}$ de la identidad$$ \int_{0}^{1}x^n \log(x)^k\,dx = \frac{d^k}{d\alpha^k}\left.\int_{0}^{1}x^{n+\alpha}\,dx\right|_{\alpha=0^+}=\frac{(-1)^kk!}{(n+1)^{k+1}} $ $. Al expandir$\frac{1}{1-x}$ como$1+x+x^2+x^3+\ldots$, se deduce que$$ \int_{0}^{1}\frac{\log(x)^k}{x-1}\,dx = (-1)^{k+1}k!\zeta(k+1) $ $ como se indica.

Answer 2

La función zeta se puede escribir como$$\zeta(n+1)=\frac1{\Gamma(n+1)}\int_0^\infty\frac{x^{n}}{e^x-1}\,dx$$ and your integral can be written as $$I(n)=n!\cdot\frac1{\Gamma(n+1)}\int_0^\infty\frac{\ln^n x}{e^{\ln x}-1}\,dx$$ since $ \ Gamma (n +1) = n! $