El máxima unramified extensión de un campo local no puede ser completa

Question

Mientras que la lectura de mis notas de un curso en clase de teoría de campo, llegué a un comentario donde se dice que, dado un completo discretos campo valoración $K$, su máxima extensión unramified $$K^{ur}= \bigcup_{F / K \: fin. unr.} F $$ puede no ser completa. Yo iba a pedir un ejemplo concreto (es decir, una secuencia de Cauchy en $K^{ur}$ que no convergen), pero después de investigar un poco en google he encontrado uno, como un ejercicio de los Campos Locales y Sus Extensiones, por Iván B. Fesenko, S. V. Vostokov:

Deje $\pi \in K$ ser un primer elemento, y deje $k^{sep}$ ser de grado infinito sobre $k$ (como en $K = \Bbb Q_p$, $k = \Bbb F_p$). Deje $K_i$ ser finito unramified extensión de $K$, $K_i$ estrictamente contenida en $K_j$$i < j$. (Podemos hacer esto en el ejemplo anterior, porque tenemos un 1.1 correspondencia entre finito unramified extensiones de $\Bbb Q_p$ y finito extensiones de $\Bbb F_p$.) Definir $$ \alpha_n := \sum_{i=1}^n \theta_i \pi^i $$ donde $ \theta_i \in \mathcal{O}_{K_{i+1}} \setminus \mathcal{O}_{K_i}$. Mostrar que $(\alpha_i)$ es una secuencia de Cauchy y que $\lim_n \alpha_n$ no $K^{ur}$.

Bien, para mostrar que es una secuencia de Cauchy es trivial, y al ver que el límite no está en $K^{ur}$ sostenemos como este: si es en la unión, pertenece a una de las $K_i$'s, pero esto contradice el hecho de que $\alpha_j \notin K_j$$j > i$.

Así que aquí mi pregunta es: ¿cómo hace el cierre de $K^{ur}$? Aquí una respuesta es dada por $K = \Bbb Q_p$, sino que simplemente hablar de lo que es y una explicación de esto o de una respuesta a mi pregunta más general, serán bienvenidos.

Gracias!

Answer 1

Esta es una pregunta natural, porque es muy fácil sentirse abrumado por la situación. En el caso de la finalización de la máxima unramified de campo local $k$, esta es la forma en que miro las cosas: usted tiene la máxima unramified extensión, que voy a llamar a $K$, una infinita extensión algebraica conseguido por contigua a la $(p^n-1)$-th raíces de la unidad para todos los $n$. Vamos a llamar a $\mathcal O$ de los enteros de $K$.

Ahora para la finalización, $\overline K$: se puede pensar de los elementos de los números enteros no como la serie de $\sum_ia_i\pi^i$, donde cada una de las $a_i$ $\mathcal O$ e donde: $\pi$ es elegido primer elemento de $k$. Esta representación no es el único. Si desea una representación única, restringir el $a_i$ a todos a ser raíces de la unidad, del tipo que he mencionado anteriormente, o cero (estos son los "Teichmüller representantes").

Si usted comienza a pensar acerca de la terminación de la clausura algebraica de $k$, las cosas se ponen realmente confuso, en parte porque no hay una única representación de un elemento de allí. Pero la primera descripción en el párrafo anterior funciona en ese caso igual de bien.