Energía no-integral de una matriz singular

Question

Sé, que si $A$ nonsingular matriz, así que es verdad para cualquier exponente real $\det{A} \ne 0$, entonces el $A^p=\exp\left(p\ln A\right)$, pero ¿y si $A$ es singular? $A$ Tiene un valor cero propio, por lo que no existe el logaritmo de la matriz.

¿Hay alguna extensión en este caso?

Answer 1

No se puede hacer en general, incluso para los poderes positivos. Por ejemplo, supongamos $N$ es nilpotent matriz de orden $n > 1$$\mathbb{R}^{n}$, es decir, $N^{n}=0$, pero $N^{n-1}\ne 0$. Si $M=\sqrt{N}$, entonces usted tendría $M^{2n}=0$, pero $M^{2n-2}\ne 0$, lo cual es imposible para un $n\times n$ de la matriz debido a que el grado del polinomio mínimo no puede exceder $n$.

Porque no ha habido ninguna actividad en esta pregunta, pensé en darle el ejemplo más sencillo. $$A = \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right]$$ Esta matriz satisface $A^{2}=0$, pero $A\ne 0$. Por lo que el polinomio mínimo de a$A$$m(\lambda)=\lambda^{2}$. Si hay un $2\times 2$ matriz $B$ tal que $B^{2}=A$,$B^{4}=0$, pero $B^{2}\ne 0$. Eso es imposible, aunque, debido a la mínima polinomio $q$ $B$ debe dividir $\lambda^{4}$, y no se puede tener un orden mayor que $2$. Eso es una contradicción, porque $B^{2}\ne 0$. Usted puede probar directamente, y ver que usted no puede conseguir a $B$ tal que $B^{2}=A$, pero sabemos que a partir de estas preocupaciones generales. Inténtelo: $$B = \left[\begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}a^{2}+bc & ab+bd \\ ca+dc & cb+d^{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right].$$ Debido a $a^{2}+bc=0$$cb+d^{2}=0$,$a^{2}-d^{2}=0$. Por lo $a=\pm d$. Pero $a\ne -d$ debido a que la contradigan $ab+bd=(a+d)b=1$. Por lo $a=d$ deben tener. La esquina inferior izquierda es $c(a+d)=0$. Pero $a+d\ne 0$ porque $(a+d)b=1$. Por lo $c=0$. Ahora que las fuerzas de $0=a^{2}+bc=a^{2}$ da $a=0$ y, por lo tanto, $d=0$, lo que da $ab+bd=0$, dando lugar a la deseada contradicción. Así, no existen $B$ tal que $B^{2}=A$ (se puede ver de manera abstracta, se puede ver de manera concreta.)

Answer 2

Si $A$ es diagonalizable y $A=SDS^{-1}$ una manera general para definir una función continua en a $f(A)=Sf(D)S^{-1}$ donde $f(D)$ $f$ que se aplica a los valores de la diagonal. Así $A^p=SD^pS^{-1}$ ($0^p=0$ para cualquier $p>0$).

Si $A$ no es diagonalizable que se puede utilizar de la forma canónica de Jordan $J$ en lugar de $D$, lo $f(A)=Sf(J)S^{-1}$, pero entonces uno también tiene que definir $f(J_\lambda)$ para Jordania células de $J_\lambda$ $\lambda$ en la diagonal. El problema es que no es suficiente para $f$ ser continua ya, si $J_\lambda$ $n\times n$ necesidades $n-1$ derivados a $\lambda$, ver http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_function#Jordan_decomposition.

Para $f(z)=z^p$ con fracciones de $p$ suficiente derivados a $0$ sólo existen si $p>n-1$, lo $A^p$ está definida si y sólo si $p>n-1$ donde $n$ es el tamaño de la más grande nilpotent de células en su forma canónica de Jordan. En particular, $\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}^{1/2}$ es indefinido, sino $\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}^{3/2}=\mathbf{0}$, en el hecho de $\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}^{p}=\mathbf{0}$ cualquier $p>1$, se convierte en nil antes que las potencias enteras sugieren.

Otra cuestión es que, incluso para los no-singular matrices el logaritmo y la fracción de poderes, no está definida de forma única. Si su $1\times1$ matriz es$(-1)$, $(-1)^{1/2}$ podría significar $(i)$ o $(-i)$. Usted puede hacer su elección de forma continua para los números complejos, pero sólo a costa de prohibir el uso de determinados números complejos como argumentos. Tal elección es llamado "rama" en el análisis complejo, y prohibió a los números forman una rama "cortar". Por ejemplo, el establecimiento $z^p:=|z|^pe^{ip\theta}$ $z=|z|e^{i\theta}$ $\theta\in(-\pi,\pi)$ prohibiría los negativos de los números reales. En realidad, usted puede incluir incluso a ellos, permitiendo que cualquiera de las $\pi$ o $-\pi$, pero luego de que su función no será continua a lo largo de la negativa de la mitad del eje. Una vez hecha su elección de una rama de $z^p$ se puede extender a las matrices, pero otra vez será discontinua en matrices con valores propios en la rama de corte.