Hamiltoniano, transformación simpléctica

Question

Estoy tratando de entender simpléctica transformaciones. Suponga que $H(q,p)$ es un Hamiltoniano y las correspondientes ecuaciones de Hamilton son dadas como,

$$\begin{split} & \dot q = \frac{\partial H}{\partial q} \\ & \dot p = -\frac{\partial H}{\partial p} \end{split}$$

Ahora supongamos que, $z = [p;q]$

$$\begin{split} \dot z = \mathbb{J}\frac{\partial H}{\partial z}, \qquad \mathbb{J}= \begin{pmatrix} 0 & I \\ -I & 0 \end{pmatrix} \end{split}$$

Ahora vamos a $\phi$ ser una transformación tal que $\tilde z = \phi(z)$. entonces $$\begin{split} \dot{\tilde z} = \frac{\partial \phi }{\partial z} \dot z = \frac{\partial \phi }{\partial z} \mathbb{J}\frac{\partial H}{\partial z}\stackrel{?}{=} \frac{\partial \phi }{\partial z} \mathbb{J} \frac{\partial \phi }{\partial z}^T \frac{\partial H}{\partial \tilde z} \end{split}$$

Yo no entender completamente el paso final en la ecuación anterior. Si ese paso es correcta, entonces obviamente $\phi$ es simpléctica si y sólo si $$\begin{split} \frac{\partial \phi }{\partial z} \mathbb{J} \frac{\partial \phi }{\partial z}^T = \mathbb{J} \end{split}$$

¿Cómo podemos saber que $\frac{\partial}{\partial z} = \frac{\partial \phi }{\partial z}^T \frac{\partial}{\partial \tilde z}$ cuando la única cosa que sabemos es $\tilde z = \phi(z)$ ??!! Podría por favor alguien que me ayude?

Answer 1

Es solo la regla de la cadena. Para evitar confusiones, escriba$H(z) = G(\tilde{z}) = G(\phi(z))$. Entonces $$\ frac {\ partial H} {\ partial z_k} (z) = \ sum_i \ frac {\ partial G} {\ partial \ tilde {z} _i} (\ phi (z)) \, \ frac { \ partial \ phi_i} {\ partial z_k} (z).$$