Espectros CW y Representability de Brown

Question

Estoy tratando de entender por qué es generalmente suficiente para trabajar con CW-espectros cuando se trabaja en estable homotopy/generalizados (co)homología.

De hecho, es cierto (un ejercicio de Adams' Libro) que:

Cualquier espectro Y es débilmente equivalente a un CW-Espectro.

La sugerencia es considerar el functor $[X,Y]_0$. (Supongo que X debe ser un CW espectro para que esto funcione)

Algunas breves terminología en Adams' libro (incluyo a este porque me undersand que difieren de la terminología más moderna, tales como la de Mayo)

• Un espectro es una familia de espacios de $E_n$ con base a los puntos, siempre con la estructura de los mapas de $\epsilon_n: \sum E_n \to E_{n+1}$ (o el equivalente adjunto mapa)

• Un espectro es un CW espectro si cada una de las $E_n$ CW-complejos con la base y el punto de cada mapa de la estructura de los mapas de isomorphically en un subcomplejo de $E_{n+1}$

• Si $E$ $F$ son espectros, con $E$ un CW espectro escribimos $[E,F]_r$ para el conjunto de homotopy mapas de grado $r$ $E$ $F$

A mi entender (clásica) de color Marrón Representabilidad es que si tengo un functor contravariante $H$ desde señaló CW espacios para señalado conjuntos de satisfacción de los axiomas, entonces existe un único (hasta homotopy al menos) CW complejo de $Y$ de manera tal que el functor $F: [\quad,Y]$ $H$ son naturalmente equivalente. Es entonces cierto si reemplazamos la CW espacio con CW espectro.

En el establo CW categoría el functor $[X, \quad]_0$ satisfes la necesaria axiomas de Brown representabilidad lo hace Brown representatividad acaba de decir que no es natural de la equivalencia de la functor $[X,Y]_0$ para el functor $[X,Z]_0$ donde $Z$ es un CW espectro? (De hecho eso es lo que Adams' libro define como un débil equivalencia...)

Answer 1

Cuando se trabaja sólo `hasta homotopy", que es, en el establo homotopy categoría, uno puede conseguir lejos con la antigua CW espectros Adams definido y uso ellos simplemente como usted dice, y por la razón que usted dice. Pero, en un nivel básico, Adams' CW espectros fueron considerados como obsoletos cuando él estaba escribiendo, y que son ciertamente largo obsoleto en la actualidad. Hay mucho amor en su libro, pero no en el parte fundamental en CW espectros. (Históricamente, el estable homotopy categoría fue definido por primera vez por Boardman en su 1964 tesis, que nunca se publicó. Boardman sabía y rechazado Adams' definiciones en el campo estético, incluso antes de Adams' el libro fue escrito). Es un trabajo para absorber cualquier definición, y yo aconsejaría aprendizaje más recientes fundaciones. Hay muchas variantes de la década de 1970 y 1980 (Lewis-Mayo-Steinberger y Bousfield-Friedlander para los ejemplos), pero la década de 1990 se produjo una revolución que permite realmente buena estructura antes de la aprobación de homotopy, permitiendo a los anillos, módulos, y álgebras de espectros (Elmendorf-Kriz-Mandell de Mayo, Hovey-Shipley-Smith, y otros).