Hace $\{f_n : n \in \mathbb{N}\}$ tienen una subsecuencia convergente en $L^2((0, 1))$ ?

Question

Dejemos que $\{f_n : n \in \mathbb{N}\} \subset C^1([0, 1])$ sea tal que $f_n(0) = 0$ y $$\sup_{n \in \mathbb{N}} \left\| {d\over{dx}}f_n\right\|_2 < \infty.$$ Hace $\{f_n : n \in \mathbb{N}\}$ tienen una subsecuencia convergente en $L^2((0, 1))$ ?

Answer 1

Dejemos que

$$\sup_{n\in \mathbb N} \| f'_n\|_2 = D <\infty.$$

Utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo, si $f = f_n$ ,

$$|f(x)| = |f(x) - f(0)| = \left|\int_0^x f'(s) ds \right| \le \sqrt x \|f'\|_2 \le D.$$

Así que $\{f_n\}$ tiene una uniformidad $C^0$ con destino a. De manera similar,

$$|f(x) - f(y)| \le \sqrt{|x-y|} \|f'\|_2 \le \sqrt{|x-y|}D.$$

Así, la familia $\{f_n\}$ es equi-continuo y por lo tanto tiene un $C^0$ (No sólo $L^2$ ) convergente, por el teorema de Ascoli-Arzela.