Si $G/Z(G)$ es cíclico, entonces $G$ es abeliano

Question

Continuando con mi trabajo a través de "Álgebra Abstracta" de Dummit & Foote, 3.1.36 pregunta lo siguiente (que es exactamente lo mismo que el ejercicio 5 en esta respuesta de MSE relacionada ):

Demostrar que si $G/Z(G)$ es cíclico, entonces $G$ es abeliano. [Si $G/Z(G)$ es cíclico con generador $xZ(G)$ , demuestran que cada elemento de $G$ puede escribirse de la forma $x^az$ para algunos $a \in \mathbb{Z}$ y algún elemento $z \in Z(G)$ ]

La pista es en realidad la parte más difícil para mí, ya que los grupos de cocientes son algo abstractos. Pero una vez que tengo la pista, puedo escribir:
$g, h \in G$ implica que $g = x^{a_1}z_1$ y $h = x^{a_2}z_2$ Así que \begin{align*}gh &= (x^{a_1}z_1)(x^{a_2}z_2)\\\ &= x^{a_1}x^{a_2}z_1z_2\\\ & = x^{a_1 + a_2}z_2z_1\\\ &= \ldots = (x^{a_2}z_2)(x^{a_1}z_1) = hg. \end{align*} Por lo tanto, $G$ es abeliana.
1) ¿Esto es correcto hasta ahora?
2) ¿Cómo puedo probar la "pista"?

Answer 1

Tenemos que $G/Z(G)$ es cíclico, por lo que existe un elemento $x\in G$ tal que $G/Z(G)=\langle xZ(G)\rangle$ , donde $xZ(G)$ es el coset con representante $x$ . Ahora dejemos que $g\in G$ . Sabemos que $gZ(G)=(xZ(G))^m$ para algunos $m$ y por definición $(xZ(G))^m=x^mZ(G)$ . Ahora, en general, si $H\leq G$ tenemos también por definición que $aH=bH$ si y sólo si $b^{-1}a\in H$ . En nuestro caso, tenemos que $gZ(G)=x^mZ(G)$ y esto ocurre si y sólo si $(x^m)^{-1}g\in Z(G)$ . Existe entonces un $z\in Z(G)$ tal que $(x^{m})^{-1}g=z$ y así $g=x^mz$ . La pista se demuestra entonces, y el resto es idéntico al trabajo que hiciste.

Answer 2

La siguiente es otra forma de mostrar la pista:

Sabemos que los cosets izquierdos de $Z(G)$ dividir el grupo $G$ . Así que para todos $g\in G$ existe $n\in N, \ z\in Z(G)$ tal que $x^nz=g$ , donde $xZ(G)$ genera $G/Z(G)$ .

Answer 3

He aquí otra prueba de la siguiente afirmación:

Dejemos que $G$ sea un grupo, $N\leq G$ un subgrupo de $G$ . Si $N\leq Z(G)$ y $G/N$ es cíclico entonces $G=Z(G)$ .

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Dejemos que $gN$ sea un generador de $G/N$ . Desde $N\leq Z(G)$ claramente $N\subseteq C_{G}(g)$ . Por definición, $g\in C_{G}(g)$ también. De ahí que $C_{G}(g)/N = G/N$ . Del teorema de la correspondencia se deduce que $C_{G}(g) = G$ y por lo tanto $g\in Z(G)$ . Así que de nuevo $Z(G)/N = G/N$ y por lo tanto por el teorema de correspondencia de nuevo $Z(G) = G$ .