Prueba elemental para $\sqrt[3]{xyz} \leq \dfrac{x+y+z}{3}$

Question

Estoy en busca de una elemental prueba de la desigualdad de AM-GM en tres variables:

$\sqrt[3]{xyz} \leq \dfrac{x+y+z}{3}$

La desigualdad de las media geométrica vs la media aritmética de dos variables puede ser probada elemental a través de

$x - 2 \sqrt{xy} + y \geq 0$

cuando $x,y > 0$. Estoy en busca de una prueba que utiliza una técnica similar basada en la aritmética elemental.

Answer 1

Que $A=\dfrac{x+y+z}{3}$ y $G=\sqrt[3]{xyz}$

Aplicando la desigualdad de AM-GM $4$ (usted puede fácilmente probarlo para $4=2^2$ cantidades, en general $2^n$ cantidades) cantidades, $x,y,z,A$; tenemos $$\sqrt[4]{xyzA} \leq \dfrac{x+y+z+A}{4}$ $ $$\sqrt[4]{A} \cdot G^{\frac34} \leq \dfrac{3A+A}{4}$ $ $$A^{\frac14} \cdot G^{\frac34} \leq A$ $ $$G^{\frac34} \leq A^{\frac34}$ $ $$G \leq A$ $ $$\sqrt[3]{xyz} \leq \dfrac{x+y+z}{3}$ $

Espero que esto ayude.

Answer 2

Para cualquier $x,y,z > 0$, definir $u = \sqrt[3]{x}, v = \sqrt[3]{y}, w = \sqrt[3]{z}$.
Tenemos

$$\begin{align} \frac{x + y + z}{3} - \sqrt[3]{xyz} &= \frac13( u^3 + v^3 + w^3 - 3uvw)\ &= \frac16 (u+v+w)((u-v)^2+(v-w)^2+(w-u)^2)\ &\ge 0\end {Alinee el} $$

Además, si $x,y,z$ no son todos iguales, por lo menos uno de los $(u-v)^2$, $(v-w)^2$ o $(w-u)^2$ es positiva. Esto significa que la desigualdad es estricta a menos que $x = y = z$.

Answer 3

Usted puede tener una prueba primaria general desigualdad de AM-GM: $$|x_1\dotsm x_n|^{1/n}\le \frac{x_1+\dotsm +x_n}{n}\tag{AG($n $)}$ $ con la siguiente forma no estándar de inducción*:

• demostrar que $\,\mathrm{AG}(n)\implies \mathrm{AG}(2n)$,
• demostrar que $\,\mathrm{AG}(n)\implies \mathrm{AG}(n\color{red}{-}1)$.

Answer 4

ps

Answer 5

Dado que nuestra desigualdad es homogénea, podemos suponer que$xyz=1$ y debemos demostrar que$$x+y+z\geq3.$ $

Ahora, dado que$xyz=1$, hay dos números$a$ y$b$ de$\{x,y,z\}$ para los cuales$a\geq1$ y$b\leq1$.

De hecho, si$x>1$,$y>1$ y$z>1$ entonces$xyz>1$, lo cual es una contradicción.

De la misma manera, tendremos una contradicción para$x<1$,$y<1$ y$z<1$.

Dejar $\{a,b\}=\{x,y\}$.

Por lo tanto,$(x-1)(y-1)\leq0$ o$x+y\geq xy+1$ y por AM-GM para dos números obtenemos:$$x+y+z\geq xy+z+1\geq2\sqrt{xyz}+1=3$ $ ¡y terminamos!