Pruebe $ \tan $ la función es una bijección

Question

deja $f : (- \frac { \pi }{2}, \frac { \pi }{2}) \to \mathbb {R}$ ser una función para que $f(x)= \tan (x)$ . Estoy tratando de probar que $f$ es bijectivo. En primer lugar quiero mostrar que $f$ es la inyección. Considere $x,y \in (- \frac { \pi }{2}, \frac { \pi }{2})$ así que $ \tan (x)= \tan (y)$ . tenemos que probar que $x=y$ pero ¿cómo?

Si quiero probar que $f$ es surjectiva, entonces quiero mostrar que para todos $y \in \mathbb {R}$ hay $x \in ( \frac {- \pi }{2}, \frac { \pi }{2})$ así que $f(x)=y$ pero aquí también tengo algunos problemas que probar.

¿Alguna pista?

Answer 1

Inyectabilidad:

Supongamos que $\tan(x)=\tan(y)$ Así que $$\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \frac{\sin(y)}{\cos(y)}$$ Por lo tanto, $$\sin(x)\cos(y)=\sin(y)\cos(x)$$ y $$\sin(x-y)=\sin(x)\cos(y)-\sin(y)\cos(x)=0$$ Desde $x,y\in (-\pi/2,\pi/2)$ sabemos que $x-y \in (-\pi,\pi)$ . Pero $\sin(z)=0$ sólo ocurre en $z=2\pi n$ , por lo que debemos tener $x-y=0$ es decir $x=y$ .

Las otras respuestas dan la idea general de la subjetividad. Porque $\cos(\pi/2)=0$ y $\sin(\pi/2)=1$ sabemos que $\lim_{x \to \pi/2^-}{\tan(x)}=\infty$ . Igualmente, $\lim_{x\to -\pi/2^+}{\tan(x)}=-\infty$ . Desde $\tan$ es continua, se aplica el Teorema del Valor Intermedio para demostrar que la imagen de $\tan$ debe ser todo $(-\infty,\infty)$ .

Aquí hay otra forma de obtener la subjetividad, dado que se sabe que $(\cos(t),\sin(t))$ parametriza el círculo. El punto $$\left( \sqrt{\frac{1}{1+r^2}},r\sqrt{\frac{1}{1+r^2}}\right)$$ está en el círculo unitario para cualquier $r$ por lo que existe un $t$ tal que $(\cos(t),\sin(t))$ da este punto. Pero entonces $$\tan t = r$$ Así que $\tan$ tiene imagen toda de $\mathbb{R}$ .

Answer 2

Demuestra eso:

• la función es monotónicamente creciente en $(-\pi,\pi)$ .
• la función no está acotada por arriba ni por abajo.
• la función es continua.

El primer punto garantiza que la función es inyectiva.

El segundo y tercer punto junto con teorema del valor intermedio garantizar que la función es sobreyectiva.

Answer 3

Una pista:

Demostrar que $f$ es una función creciente, y que sus límites en cualquiera de los límites son $-\infty$ y $+\infty$ y, a continuación, aplicar el Teorema del valor intermedio .

Answer 4

Esto se desprende de $\tan'(x)=1+\tan^2(x)$ y el hecho de que $\lim_{x\to\pm\pi/2}\tan x=\pm\infty$ . Aplicar el Teorema del Valor Intermedio.

Answer 5

La forma barata sería decir, que $f^{-1}\colon \mathbb{R}\to (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ con $x\mapsto \arctan(x)$ es la función inversa. Pero dudo que puedas usarla, ya que es un poco circular.

Para demostrar que $f$ es inyectiva, basta con demostrar que $f'(x)>0$ por cada $x\in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ .

Es $\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ .

O puedes hacerlo de la manera "común" y utilizar los teoremas de adición para $\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=\frac{\sin(y)}{\cos(y)}$

Para la surjecitividad podrías aplicar el teorema del valor intermedio, después de comprobar lo que ocurre con los límites.