Un ágil prueba de Fatou del lema

Question

Estoy estudiando básica de análisis real y se tropezó con tres grandes resultados (Fatou del lexema, Lebesgue del teorema de Convergencia Dominada, y la Monotonía teorema de Convergencia) en la teoría de Lebesgue de integración. He visto el corto y mancha de pruebas de la LDCT y MCT desde cero (en Bogachev, la Teoría de la Medida y Bajo de Posgrado de Análisis Real/Rudin Real y Complejo Análisis, respectivamente). Sin embargo, me preguntaba si tal prueba existe para Fatou del lexema. He visto un par de pruebas que dependen ni de la MCT ni la LDCT (en particular, en Royden y Fitzpatrick del Análisis Real, y en la página de Wikipedia para Fatou del lema), y aunque estas pruebas no son demasiado difíciles o difíciles de entender, parecen mucho más tiempo que las pruebas de los otros dos teoremas.

Entonces, para resumir: ¿alguien Puede facilitarme el corto y mancha de la prueba, tal vez incluso un esquema de una prueba para mí a través de Fatou del lema que no dependa de LDCT o MCT?

Gracias!

Answer 1

Deje $\lambda<1$. Para cualquier $k$, denotan $$B_k := \Big\{ x \in X ~|~ \forall l \geq k,~ \lambda \liminf_n f_n(x) \leq f_l(x) \Big\}.$$ Entonces $$ \lambda \int_{B_k} \liminf_n f_n \leq \int_{B_k} f_k \leq \int_X f_k.$$ Tome $\liminf_k$ en ambos lados : $$ \lambda \liminf_k \left( \int_{B_k} \liminf_n f_n \right) \leq \liminf_k \int_X f_k.$$

El lado izquierdo es igual a $\lambda \int_X \liminf_n f_n$ porque :

• $(B_k)_k$ es cada vez mayor.

• $\bigcup_k B_k=X$. De hecho, para cualquier $x \in X$, $\liminf_n f_n(x)>0$ en el caso de $\lambda \liminf_n f_n(x) < f_k(x)$$k>>1$,$\liminf_n f_n(x)=0$, en cuyo caso es trivial.

Algunos de propiedad sobre medida diré que $\lim_n \int_{B_k} g = \int_X g$.

Answer 2

En mi opinión, Fatou del lexema y MCT son más o menos equivalentes. MCT es un caso particular de Fatou (con no decreciente secuencias), y ususally Fatou se demostró mediante la aplicación de MCT para la secuencia de $g_n=\inf\{f_n,f_{n+1},\ldots\}$.

Si desea una prueba directa, y usted quiere entender lo que está pasando, tratar el caso más simple de Fatou: si $(a_n)$ $(b_n)$ son secuencias de números no negativos entonces $$ \liminf a_n + \liminf b_n \le \liminf(a_n+b_n). $$

El caso general es el mismo que acaba de tener un poco más de complicación técnica.