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Norma de compatibilidad de los ideales y la ideles

Deje $L|K$ ser finito, separables de la extensión global de los campos, $\mathbb{I}$ el idele grupo y $\mathcal{I}$ el grupo de los ideales fraccionarios. Tenemos una surjective homomorphism de $\mathbb{I}\to\mathcal{I}$ dada por $a\mapsto\prod\mathfrak{p}^{v_{\mathfrak{p}}(a)}$. El idele norma entre $\mathbb{I}_{L}$ $\mathbb{I}_{K}$ está dado por $N_{L|K}(b_{w})=(a_v)$ donde cada una de las $a_{v}$ está dado por $a_{v}:=\prod_{w|v}N_{{L_{w}|K_{v}}}(b_{w})$. El ideal de la norma está dada por $\mathfrak{P}\mapsto \mathfrak{p}^{f(\mathfrak{P}|\mathfrak{p})}$ y se extiende linealmente.

¿Por qué es el diagrama de $\require{AMScd}$ \begin{CD} \mathbb{I}_{L} @>>> \mathcal{I}_{L}\\ @V{N_{L|K}}VV @V{N_{L|K}}VV \\ \mathbb{I}_{K} @>>> \mathcal{I}_{L}; \end{CD} conmutativa?

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Watson Puntos 860

Voy a mostrar la conmutatividad para un idele $x = (..., 1, \pi_P, 1, ...) \in \mathbb I_L$ donde $\pi_P$ es un uniformizer en $L_P$, es decir, $v_P(\pi_P) = 1 / e(P/p)$ (mínimos de postitive valoración - vea el paso 0 justo debajo). Aquí $p$ denota una flor de $K$, e $P$ es una de las principales de $L$ sobre $p$. No es difícil llegar a la conclusión de la conmutatividad de un arbitrario idele de $L$.

Paso 0.

Recordemos primero que nos definen $$v_P(b_P) := \dfrac{1}{[L_P : K_p]} v_p(N_{L_P/K_p}(b_P))$$ para cualquier $b_P \in L_P^{\times}$, y recordar que $$[L_P : K_p] = e(P/p) f(P/p).$$

Paso 1.

Primero aplicamos la idele norma a $x$. El único no-trivial de los componentes de la idele $N_{L/K}(x) \in \Bbb I_K$ es el componente de la prime $p$ : $$ (N_{L/K}(x))_p = \prod_{Q \mid p} N_{L_Q / K_p}(x_Q) = N_{L_P / K_p}(x_P)$$ debido a $x_Q = 1$ siempre $Q \neq P$. A continuación, aplicamos la parte inferior de la flecha de a $N_{L/K}(x)$, y obtenemos el siguiente ideal de $K$ : $$ p^{v_p(N_{L_P / K_p}(x_P))} = p^{f(P/p)} $$ Aquí he utilizado el identites desde el Paso 0.

Paso 2.

Ahora seguimos la ruta de acceso en el diagrama. Aplicar primero la flecha superior para nuestros idele $x$. Esto da directamente a $P$. [Aquí hay una sutileza : la punta de la flecha está dada de la siguiente manera : para un idele $(b_P)$, podemos escribir $b_P = u_P \pi_P^{n_P}$ para $u_P \in O_{L_P}^{\times}$ y un único $n_P \in \Bbb Z$, y, a continuación, este idele es enviado a la ideal $\prod_P P^{n_P}$. Tenemos que ser cuidadosos $n_P$ es no el mismo que $v_P(b_P)$ en general!]

Aplicar el ideal de la norma a este, y se obtiene $$p^{f(P/p)},$$ que es exactamente lo que hemos encontrado antes de. Eso es todo! $\hspace{7cm}\blacksquare$

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