Voy a mostrar la conmutatividad para un idele $x = (..., 1, \pi_P, 1, ...) \in \mathbb I_L$ donde $\pi_P$ es un uniformizer en $L_P$, es decir, $v_P(\pi_P) = 1 / e(P/p)$ (mínimos de postitive valoración - vea el paso 0 justo debajo).
Aquí $p$ denota una flor de $K$, e $P$ es una de las principales de $L$ sobre $p$.
No es difícil llegar a la conclusión de la conmutatividad de un arbitrario idele de $L$.
Paso 0.
Recordemos primero que nos definen
$$v_P(b_P) := \dfrac{1}{[L_P : K_p]} v_p(N_{L_P/K_p}(b_P))$$
para cualquier $b_P \in L_P^{\times}$, y recordar que
$$[L_P : K_p] = e(P/p) f(P/p).$$
Paso 1.
Primero aplicamos la idele norma a $x$. El único no-trivial de los componentes de la idele $N_{L/K}(x) \in \Bbb I_K$ es el componente de la prime $p$ :
$$ (N_{L/K}(x))_p = \prod_{Q \mid p} N_{L_Q / K_p}(x_Q) = N_{L_P / K_p}(x_P)$$
debido a $x_Q = 1$ siempre $Q \neq P$.
A continuación, aplicamos la parte inferior de la flecha de a $N_{L/K}(x)$, y obtenemos el siguiente ideal de $K$ :
$$ p^{v_p(N_{L_P / K_p}(x_P))} = p^{f(P/p)} $$
Aquí he utilizado el identites desde el Paso 0.
Paso 2.
Ahora seguimos la ruta de acceso en el diagrama.
Aplicar primero la flecha superior para nuestros idele $x$. Esto da directamente a $P$.
[Aquí hay una sutileza : la punta de la flecha está dada de la siguiente manera : para un idele $(b_P)$, podemos escribir $b_P = u_P \pi_P^{n_P}$ para $u_P \in O_{L_P}^{\times}$ y un único $n_P \in \Bbb Z$, y, a continuación, este idele es enviado a la ideal $\prod_P P^{n_P}$. Tenemos que ser cuidadosos $n_P$ es no el mismo que $v_P(b_P)$ en general!]
Aplicar el ideal de la norma a este, y se obtiene
$$p^{f(P/p)},$$
que es exactamente lo que hemos encontrado antes de. Eso es todo!
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