Intuición para el colector de productos alabeados.

Question

Estoy leyendo sobre las ecuaciones de onda en la multiplicidad y encontré el término colector de producto alabeado . Más concretamente, en mi caso se define de la siguiente manera,

$$N:=[0,\phi^*) \times_g \mathbb S^{k-1}$$ donde $\phi^* \in \Bbb R\cup\{+\infty\}$ y $g:\Bbb R\to\Bbb R$ es una función suave impar tal que $g(0)=0, g'(0)=1$ . En $N$ tenemos las coordenadas ''polares'' $(\phi,\chi) \in [0,\phi^*)\times \mathbb S^{k-1}$ . En estas coordenadas la métrica de $N$ tiene la forma $$ d\phi^2 + g^2(\phi)d\chi^2 $$ donde $d\chi^2$ es la métrica estándar de $\mathbb S^{k-1}\hookrightarrow \Bbb R^k$ .

¿Cómo debo pensar en $N$ ¿es este caso? Y lo que es más importante, ¿qué es un colector de producto alabeado en general?

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Si $(B,g_B)$ y $(F,g_F)$ son variedades pseudo-riemannianas y $f\colon B \to \Bbb R$ es una función suave positiva, el producto alabeado de $(B,g_B)$ y $(F,g_F)$ es la variedad pseudo-riemanniana $B\times_fF = (B\times F, g)$ , donde $$g \doteq \pi_B^*g_B + (f\circ \pi_B)^2\pi_F^\ast g_F,$$ con $\pi_B$ y $\pi_F$ siendo las proyecciones sobre $B$ y $F$ .

Es similar a un producto directo, en el sentido de que todos los deja $B\times q$ son isométricos a $B$ , mientras que el fibras $p\times F$ son homotéticos a $F$ con el factor $1/f(p)$ . Es decir, $f$ está deformando todas las hojas, de ahí el nombre. Puedes mirar la página 204 del libro de Barret O'Neill Geometría semi-riemanniana con aplicaciones a la relatividad para obtener algunos resultados sobre productos deformados.

En tu caso concreto, puedes ver ese tensor métrico como algo procedente de una superficie de revolución. Como ejemplo sencillo, considera una curva $\alpha\colon I \to \Bbb R^3$ parametrizado por la longitud de arco, escrito en la forma $\alpha(s) = (\varphi(s),0,\psi(s))$ con $\varphi(s) > 0$ . Esta última condición dice que la curva no se encuentra con el eje de revolución. Entonces la superficie de revolución generada por $\alpha$ puede parametrizarse mediante el mapa $X\colon I\times \left[0,2\pi\right] \to \Bbb R^3$ dado por $$X(s,\theta) = (\varphi(s)\cos \theta, \varphi(s)\sin \theta, \psi(s)),$$ y el tensor métrico de $\Bbb R^3$ inducido a la imagen de $X$ es $$g = {\rm d}s^2 + \varphi(s)^2{\rm d}\theta^2,$$ por lo que la superficie de revolución es isométrica a $I\times_\varphi \Bbb S^1$ (aquí $I$ y $\Bbb S^1$ están equipados con ${\rm d}s^2$ y ${\rm d}\theta^2$ , respectivamente, y como las cosas son $2\pi$ -periódico en $\theta$ pasan de $[0,2\pi]$ a $[0,2\pi]/_\sim = \Bbb S^1$ ).