Demuestre que$f$ es una función constante.

Question

Problema

Permita que$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sea una función continua tal que para todos$x\in\mathbb{R}$ y para todos$t\geqslant 0$, $$f(x)=f(e^tx)$$ Show that $f$ es una función constante.

Mi prueba

Tomar $t=1$. Luego, para cualquier$r \in \mathbb{R}$%, queda claro que $$f(r)=f \left(\frac{r}{e}\right)=f \left(\frac{r}{e^{2}}\right)=f \left(\frac{r}{e^{3}}\right)=\cdots=f \left(\frac{r}{e^{n}}\right).$$ Take the limits of both sides as $n \ a \ infty$. Notice that $\ dfrac {r} {e ^ n} \ a 0$ as $n \ to \ infty$. By the continuity of $f (x)$, we have $$f(r)=\lim_{n \to \infty}f(r)=\lim_{n \to \infty}f \left(\frac{r}{e^{n}}\right)=f\left(\lim_{n \to \infty}\frac{r}{e^{n}}\right)=f(0).$$ This shows that $f (x) \ equiv f (0)$.

Por favor corrígeme si estoy equivocado.

Answer 1

Buen trabajo. Tu trabajo parece estar bien.

Puede que no esté claro para alguien como se señala en el comentario sobre dejar$t=1$. En ese caso, simplemente indique cuál es su$x$ explícitamente. Deje$x=\frac{r}{e^{m}}, m \ge 0$ y, por lo tanto, tenemos $$f\left( \frac{r}{e^{m}}\right)=f\left(e\cdot \frac{r}{e^m} \right)$$ and $$f\left(e\cdot \frac{r}{e^m} \right)=f\left( \frac{r}{e^{m}}\right)

ps

Observación:

Su trabajo muestra que el reclamo sigue siendo cierto, por ejemplo, si restringimos$$f\left(\frac{r}{e^{m-1}} \right)=f\left( \frac{r}{e^{m}}\right)$ para que sean enteros no negativos.

Answer 2

Permítanme presentar un enfoque alternativo (asumiendo $f$ es no sólo continua, pero también diferenciable).

Diferenciar la expresión de $f\left(x\right)=f\left(e^tx\right)$ con respecto al $x$, obtener

$$f\left(x\right)=f\left(e^tx\right) \implica f'\left(x\right)=f'\a la izquierda(e^tx\right) e^t$$

Diferenciar la misma expresión $f\left(x\right)=f\left(e^tx\right)$ con respecto al $t$ tenemos

$$f\left(x\right)=f\left(e^tx\right) \implica f\left(x\right)=f'\a la izquierda(e^tx\right) xe^t$$

Entonces llegamos a la conclusión de que cualquiera de las $f'\left(x\right) = 0\implies f\equiv \operatorname{const}$, o $xf'\left(x\right)=f\left(x\right)$.

La elaboración de este último caso tenemos

$$f'\left(x\right) = \frac{f\left(x\right)}{x} \implica \frac{d, f}{dx}=\frac{f}{x}\implica \frac{df}{f} = \frac{dx}{x}\implica f\left(x\right) = Cx$$

donde $C$ es una constante que se pueden calcular aplicando el $f\left(x\right)=f\left(e^tx\right)$ que tiene para cualquier $x$:

$$Cx = Cxe^t, \quad t>0\;\implica \; C=0\; \ffi\; f\left(x\right)\equiv 0$$

En cualquier caso, obtenemos $f\left(x\right)\equiv \operatorname{const}$.

Answer 3

Deje $x$ ser cualquier número real positivo. $f(x) = f(e^tx)$ $\forall t \ge 0$ puede escribirse como $f(x) = f(x_0)$, $\forall x \ge x_0$, $\forall x_0 \gt 0$. Por lo $f(x)$ es constante a lo largo de los positivos.

Del mismo modo, tenemos que para el negativo $x$, $f(x) = f(e^tx)$ para todos los $t \ge 0$ implica que $f(x) = f(x_0)$, $\forall x \le x_0$ $\forall x_0 \lt 0$. Por lo $f(x)$ es constante a lo largo de los negativos.

Así que nuestra función es constante sobre los aspectos positivos y los negativos. Además, nuestra función es continua, por lo que no puede haber una discontinuidad en $x = 0$. Así que f es continua

Escribiendo esto porque no he entendido tu método

Edit: tal vez lo que hice no es tan trivial,pero básicamente $e^t$ es una constante positiva mayor que o igual a $1$. Por lo que cualquier positivo o negativo real $x$ puede ser expresado como $e^tx_0$, para algunos no negativo $t$, para todos los $x_0$ tal que $|x| \ge |x_0|$, y ambos tienen el mismo signo.

Otro edit: Ahora tengo tu método. Yo sólo era seitching las variables alrededor.