Pointwise convergente composición operador en BV

Question

Estoy considerando sólo las funciones de variación acotada en el sentido clásico, es decir, las funciones de $f:[0,1]\to\mathbb R$, s.t. $||f||_{BV}<\infty$, donde \begin{align*} ||f||_{BV}=||f||_\infty+\sup\sum_{j=1}^n|f(t_j)-f(t_{j-1})|, \end{align*} y el supremum se toma sobre todas las particiones $0=t_0<\ldots<t_n=1$$[0,1]$. El conjunto de todas las funciones se denota por a $BV$, y el subconjunto $BV_0$ se define como el conjunto de todas las funciones $x\in BV$ tal que $x(t)\in[0,1]$ todos los $t\in[0,1]$.

Uno puede mostrar que $||\cdot||_{BV}$ define una norma en $BV$ y hace $BV$ un completo espacio vectorial.

Mi pregunta ahora es la siguiente.

Deje $f_n:[0,1]\to\mathbb R$ ser una secuencia de funciones de satisfacciones $|f_n(u)-f_n(v)|\leq|u-v|$ para todos los $u,v\in[0,1]$, $n\in\mathbb N$, y $||f_n||_{BV}\to0$$n\to\infty$.

(1) Es siempre cierto que $||f_n\circ x||_{BV}\to0$ $n\to\infty$ todos los $x\in BV_0$? (2) Si no (1) es verdadera al menos por una larga de $(f_n)$?

Tenga en cuenta que $||f_n||_{BV}\to 0$ implica que el $(f_n)$ converge uniformemente a 0.

Si las constantes de Lipschitz $L_n$ $f_n$ converge a 0, entonces la respuesta es claramente sí, porque $||f_n\circ x||_{BV}\leq ||f_n||_\infty+L_n||x||_{BV}$. Pero, ¿qué ocurre en el caso general? Sólo sé que $L_n\leq 1$ todos los $n\in\mathbb N$.

Cualquier ayuda es muy apreciada. Gracias de antemano!

Answer 1

OK, aquí va.

Lema: Vamos A $x\in BV,\varepsilon>0$. Existe $\delta=\delta(x,\varepsilon)$ tal que para cualquier sistema de $\mathcal I$ de pares distintos abrir los intervalos de $I_k$ (que puede ser finito o infinito) de la longitud total $\sum_k|I_k|< \delta$ cualquier $t_1<t_2<\dots<t_m$, tenemos $$ {\sum_j}^{(\mathcal I)}|x(t_j)-x(t_{j-1})|\le \varepsilon $$ donde ${\sum_j}^{(\mathcal I)}$ denota la suma tomado tales índices se $j$ que $x(t_{j-1}),x(t_j)\in I_k$ algunos $k$ (vamos a llamar a la correspondiente saltos "interna" y la otra "externa").

Prueba: Elija $0=s_1<s_2<\dots<s_N=1$, de modo que $$ \sum_m|x(s_m)-x(s_{m-1})|\ge \operatorname{Var}x-\frac\varepsilon 2 $$ Poner $\delta=\frac{\varepsilon}{4N}$. Considere la posibilidad de la partición determinada por $s_m$ $t_j$ juntos. Observe que para cada $m$, el interventor de saltos entre el $x(t_j)$ $t_j$ acostado en el intervalo de $[s_{m-1},s_m]$ junto con el "endpoint" saltos en dicho intervalo debe abarcar $[x(s_{m-1}),x(s_m)]\setminus(\cup_k I_k)$, por lo que su longitud total es de al menos $|x(s_m)-x(s_{m-1})|-\delta$ y el total de su contribución a la variación es lo $\ge \sum_m|x(s_m)-x(s_{m-1})|-N\delta$. En cuanto a la interna de salta, a sólo $N$ de ellos se puede dividir por $s_m$ y cada uno de ellos es en la mayoría de las $\delta$. Por lo tanto, su contribución es de al menos ${\sum_j}^{(\mathcal I)}|x(t_j)-x(t_{j-1})|-N\delta$. Ya que ellos no pueden aportar más de $\operatorname{Var}x$, el lema de la siguiente manera.

Ahora tome un $L$-función de Lipschitz $f$$\|f\|_{BV}<\frac 14\varepsilon\delta$. Considerar todos los intervalos $[s,t]$$|f(t)-f(s)|>\varepsilon(t-s)$. Observe que la longitud total de cualquier desunión de la familia de los intervalos en que es en la mayoría de las $\varepsilon^{-1}\|f\|_{BV}<\frac 14\delta$, por lo que, por Vitali que cubre lema, podemos encontrar un conjunto abierto $U\subset \mathbb R$ de la longitud de la $|U|<\delta$ de manera tal que cada intervalo está contenida en $U$. Deje $\mathcal I$ ser parte de la familia de todos los que constituyen los intervalos de $U$. Entonces, por el lema, la suma de las extensiones $f$ de los internos de saltos $|f(x(t_j))-f(x(t_{j-1}))|\le L|x(t_j)-x(t_{j-1})|$ es en la mayoría de las $L\varepsilon$, mientras que la suma de las extensiones de externos salta es en la mayoría de las $\varepsilon\operatorname{Var}x$ (porque externo saltos ver $f$ $\varepsilon$- Lipschitz en lugar de $L$-Lipschitz).

Eso es todo. Siéntase libre de hacer preguntas si algo no está claro.