Para cualquier número entero positivo $k$ ¿hay siempre primos $p$ y $q$ tal que $q-p=2^k$ ?

Question

La evidencia experimental me sugiere que siempre hay primos $p$ y $q$ tal que $q-p=2^k$ .

Algunos ejemplos son: $5-3=2$ , $11-7=4$ , $19-11=8$ , $29-13=16$ , $43-11=32$ etc.

Ahora estoy seguro de cómo proceder para demostrarlo. Parece que debería ser lo suficientemente accesible, quizás usando algo como el teorema de Dirichlet para los primos ( $a+bk$ es primo para infinitos $k$ si $\gcd(a,b)=1$ ).

¿Puede alguien ayudarme a probar o refutar esto?

Answer 1

No es una respuesta, sino unos cuantos datos. La tabla muestra la solución más pequeña para cada potencia de $2$ . Como podemos ver, el más pequeño $q$ suele estar bastante cerca de la potencia de $2$ Es decir, $p$ es bastante pequeño, pero desgraciadamente no lo suficiente como para ser predecible.

\begin {array}{rrrr} k & 2^k & q & p \\ 0 & 1 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 5 & 3 \\ 2 & 4 & 7 & 3 \\ 3 & 8 & 11 & 3 \\ 4 & 16 & 19 & 3 \\ 5 & 32 & 37 & 5 \\ 6 & 64 & 67 & 3 \\ 7 & 128 & 131 & 3 \\ 8 & 256 & 263 & 7 \\ 9 & 512 & 523 & 11 \\ 10 & 1024 & 1031 & 7 \\ 11 & 2048 & 2053 & 5 \\ 12 & 4096 & 4099 & 3 \\ 13 & 8192 & 8209 & 17 \\ 14 & 16384 & 16421 & 37 \\ 15 & 32768 & 32771 & 3 \\ 16 & 65536 & 65539 & 3 \\ 17 & 131072 & 131101 & 29 \\ 18 & 262144 & 262147 & 3 \\ 19 & 524288 & 524341 & 53 \\ 20 & 1048576 & 1048583 & 7 \\ 21 & 2097152 & 2097169 & 17 \\ 22 & 4194304 & 4194371 & 67 \\ 23 & 8388608 & 8388619 & 11 \\ \end {array}

Answer 2

Reclamación : Sí, siempre hay primos $(p,q)$ tal que su diferencia es $2^k$ para todos los enteros positivos k.

Idea : Supongamos lo contrario para algunos $k$ . Entonces, para todos los primos p $2^k+p$ es compuesto. Por el teorema de Green-Tao, los primos contienen progresiones aritméticas arbitrariamente grandes. Por lo tanto, para cualquier entero positivo $n$ existen primos $p_1,p_2,...,p_n$ de manera que formen una progresión aritmética. Entonces, $2^k+p_1,2^k+p_2,...,2^k+p_n$ también forma una progresión aritmética. Como podemos obtener n suficientemente grande, podemos ver por el teorema de Dirichlet que debe existir un primo $p$ tal que $2^k+p$ es primo. Por lo tanto, tenemos una solución, $(2^k+p,p)$ . Contradicción.

Por lo tanto, para todos los enteros positivos $k$ existe pirmes $(p,q)$ tal que $p-q = 2^k$

Tenga en cuenta que esto no es una prueba, sino que sólo sugiere por qué podría existir.