Cómo resolver $z$: $|z|=z+\bar{z}$

Question

No sé cómo resolver esto (cómo resolver $z$):

$$|z|=z+\bar{z}$$

Lo que hice fue,

Que $$z=a+bi $ $ $$\sqrt{a^2+b^2}=(a+bi)+(a-bi)$ $ $$\sqrt{a^2+b^2}=2a$ $ $$a^2+b^2=4a^2$ $

No sé qué hacer de aquí a resolver $z$...

Answer 1

¡Sigue!

Tienes $$b^2=3a^2\implies b=\pm a\sqrt3$$ so the equation holds for all the complex numbers satisfying $$z=a\pm a\sqrt3i$$ due to conjugacy, with $a # > 0 $ because $ | z | $ debe ser no negativo.

Answer 2

Diversión de otro planteamiento es el siguiente:

Que $z=re^{i\theta}$. Entonces $\Re(z)=r\cos(\theta)$. Sustituyendo esto en la ecuación da $ r=2r\cos(\theta). $$ Por lo tanto, cualquier $r=0$ o $\cos(\theta)=\frac{1}{2}$. Por lo tanto, $\theta=\frac{\pi}{3}$ o $\theta=-\frac{\pi}{3}$. Entonces, $ z = re ^ {\frac {i\pi} {3}} \quad\text {o} \quad z = re ^ {-\frac {i\pi} {3}} $$ Si desea más detalles, luego usar ese $$ z = re ^ {\frac {i\pi} {3}} = r\cos\left (\frac {\pi} {3} \right) + ir\sin\left (\frac {\pi} {3} \right) = \frac {r} {2} + \frac {ir\ sqrt {3}} {2}. $$

Answer 3

$$b^2+a^2=4a^2\to b^2=3a^2\to b=\pm a\sqrt3$ $ Luego filtrar que en $$z=a\pm i\cdot a\sqrt3 $ $

Answer 4

Sólo algunos motivación geométrica:

Answer 5

$$a^2+b^2=4a^2\implies b^2=3a^2 \implies b=\pm \sqrt 3 a $$

$$ z= a+bi = a\pm i\sqrt 3 a = a( 1\pm i\sqrt 3 ) $$