Producto fibrado de esquemas y functor de sección global

Question

Sea $X$ y $Y$ ser dos $k$ -esquemas ( $k$ Supongamos que $\Gamma(Y,\mathcal{O}_Y) =k$ . ¿Es cierto que $$\Gamma(X \times_{spec(k)}Y, \mathcal{O}_{X \times_{spec(k)}Y}) = \Gamma(X,\mathcal{O}_X) \otimes_{k} \Gamma(Y,\mathcal{O}_Y) $$

PD: El argumento categórico que afirma que el functor de sección global preserva los colímitos es incorrecto, como se explica en una de las respuestas. En general, la afirmación anterior es falsa.

Answer 1

El argumento que esgrime no es correcto.

Como usted dice, el functor espectro primo $\mathrm{Spec} : \mathbf{CRing}^\mathrm{op} \to \mathbf{Sch}$ y el functor de sección global $\mathscr{O} : \mathbf{Sch}^\mathrm{op} \to \mathbf{CRing}$ forman una adjunción contravariante a la derecha:

$$ \hom_{\mathbf{CRing}}(R, \mathscr{O}(X)) \cong \hom_{\mathbf{Sch}}(X, \mathrm{Spec}(R) ) $$

lo que significa que tanto $\mathrm{Spec}$ y $\mathscr{O}$ enviar colimits a limits. El argumento formal es

$$ \hom_{\mathbf{CRing}}(R, \mathscr{O}(\operatorname{colim} X_j)) \cong \hom_{\mathbf{Sch}}(\operatorname{colim} X_j, \mathrm{Spec}(R) ) \\ \cong \lim \hom_{\mathbf{Sch}}(X_j, \mathrm{Spec}(R) ) \\ \cong \lim \hom_{\mathbf{CRing}}(R, \mathscr{O}(X_j) ) \\ \cong \hom_{\mathbf{CRing}}(R, \lim \mathscr{O}(X_j)) $$

y así $$ \mathscr{O}(\operatorname{colim} X_j) \cong \lim \mathscr{O}(X_j) $$

Esto demuestra que tiene la dirección equivocada; la afirmación que esperaba hacer era

$$ \mathscr{O}(\operatorname{lim} X_j) \overset{?}{\cong} \operatorname{colim} \mathscr{O}(X_j) $$

Sin embargo, dado que $\mathscr{O} \circ \mathrm{Spec}$ es naturalmente isomorfo a la identidad, una cosa que hace seguir por razones formales es que

$$ \mathscr{O}(\lim \mathrm{Spec}(R_j)) \cong \mathscr{O}(\mathrm{Spec}(\operatorname{colim} R_j)) \cong \operatorname{colim} R_j $$

Es decir, la afirmación que esperabas hacer es cierto por razones puramente formales en el caso especial de que los esquemas sean afines.

Answer 2

Esto es cierto en gran generalidad, pero no es algo categórico formal. Que el mapa es un isomorfismo es una consecuencia de la fórmula de Künneth cuando $X$ y $Y$ son cuasi-compactos y separados (o simplemente cuasi-separados). La etiqueta del proyecto Stacks es https://stacks.math.columbia.edu/tag/0BEC .

En $Y=\mathrm{Spec}(B)$ es afín y $X$ es cuasicompacta y separada, el resultado es un caso especial de la compatibilidad de la cohomología de gavillas cuasicoherentes con cambio de base plana, y puede demostrarse tensando los primeros términos del complejo de Cech de $\mathscr{O}_X$ relativa a un recubrimiento abierto afín finito de $X$ con $B$ . Todo lo que importa para este argumento es que la base es afín y que $B$ es plana sobre la base.

Creo que el argumento que se da en el proyecto Stacks se simplifica si lo único que se quiere es el isomorfismo de grado cero para las estructuras de gavilla, pero no lo he leído con suficiente atención como para decir algo preciso.