Opciones en la Secuencia

Question

<blockquote> <p>Que $a \in \mathbb{N}, b \in \mathbb{Z}$. ¿Definir $n$ a ser el mayor entero no negativo tal que la secuencia $ \{a_1, a_2, \ldots, a_n \}$ se compone enteramente de los cuadrados de números naturales, donde $a_n := a3^n+b$? ¿Para que valores de $a,b$ $n$ alcanzan un valor máximo?</p> </blockquote> <p>He podido comprobar que la secuencia es finita para cualquier % dado $a,b$, pero no he ido más allá. Yo sería feliz con cualquier toque. Gracias</p>

Answer 1

COMENTARIO.- Doy aquí una condición necesaria que podría ayudar a cualquier persona que desee para tratar de obtener una respuesta. Estoy ocupado en otra tarea que requiere toda mi atención, así que no tengo suficiente tiempo para tratar de resolver este difícil problema.

Se puede utilizar tanto en la periodicidad de los poderes de $3$ modulo $10$ y plazas modulo ${10}$.

Poner $A3^n+B=\square$$A\equiv a\pmod{10}$$B\equiv b\pmod{10}$. Sigue

$a3^n+b\equiv c= 0,1,4,9,6,5\pmod{10}$ $$\begin{cases}a+b=10x+c\\3a+b=10y+c=10x+c+2a\\7a+b=10z+c=10x+c+5a\\9a+b=10w+c=10x+c+8a\end{cases}$$ By simple subtraction of second and third (or third and fourth) equations we get $a=0$.

En consecuencia, uno tiene que estudiar las ecuaciones $$10x3^n+10y+c=z^2;\qquad c=0,1,4,9,6,5$$ or,equivalently, $$10x3^n+10y=(z-\sqrt c)(z+\sqrt c)$$ Con el práctico hecho de que $\mathbb Q(\sqrt5)$ $\mathbb Q(\sqrt6)$ son norma Euclidiana cuadrática campos.