Probar

Question

Problema

Probar $$\lim_{n \to \infty}\dfrac{\ln (n+1)}{(n+1)[\ln^2 (n+1)-\ln^2 n]}=\frac{1}{2},$$where $n=1,2,\cdots.$

Mi prueba

Considerar la función $f(x)=\ln^2 x.$ aviso que % Teorema del valor medio $f'(x)=2\cdot \dfrac{\ln x}{x}.$de Lagrange, tenemos $$\ln^2(n+1)-\ln^2 n=f(n+1)-f(n)=f'(\xi)(n+1-n)=f'(\xi)=2\cdot \frac{\ln \xi}{\xi},$$where $n # e,$por lo tanto, $g(n+1)<g by="" cada="" equals="" grande="" have="" limit="" lo="" n="" sostiene="" squeeze="" suficientemente="" tanto="" that="" the="" theorem="" thus="" want="" we="">¿Estoy correcto? La prueba anterior no es natural para mí. ¿Cualquier otra prueba?

</g>

Answer 1

Puede utilizar esta \lim{n \to \infty}\dfrac{\ln $$ (n+1)}{(n+1) [\ln^2 (n +1)-\ln^2 n]} = $$ $$ = \lim{n \to \infty}\dfrac{\ln (n+1)}{(n+1) [\ln (n +1)-\ln n] [\ln (n +1) + \ln n]} = $$ $$ = \lim{n \to \infty}\dfrac{\ln (n +1)} {\ln\left [\left(1 +\frac{1} {} n} \right) ^ {n+1} \right] [\ln (n +1) + \ln n]} = $$ $$ = \lim{n \to \infty}\dfrac{\ln (n +1)} {\ln (n +1) + \ln n} = \frac{1}{2} $$

Answer 2

Existe un appplication en soluciones de @Virtuoz y mía. Es decir

$$\lim_{n \to \infty}\frac{\ln(n+1)}{\ln n}=1.$$

Ahora, tiene su prueba de complemento.

Prueba 1

Por la regla de L'Hospital, tenemos %#% $ #%

Prueba 2

Indicar $$\lim{n \to \infty}\frac{\ln(n+1)}{\ln n}=\lim{n \to \infty}\frac{\dfrac{1}{n+1}}{\dfrac{1}{n}}=\lim{n \to \infty}\frac{n}{n+1}=\lim{n \to \infty}\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{n}}=1.$. Por el teorema del valor medio de Lagrange, tenemos $f(x)=\ln x$$$\ln(n+1)-\ln n=f(n+1)-f(n)=f'(\xi)(n+1-n)=\frac{1}{\xi},$n #