Hallar la probabilidad de que se encuentre un as en cada montón cuando se divide una baraja en 4

Question

Estoy tratando de responder a esta pregunta y se supone que debes utilizar la regla de la multiplicación para resolverla:

Una baraja de 52 cartas se divide al azar en cuatro montones de 13 cartas cada uno. Calcula la probabilidad de que cada montón tenga exactamente 1 as.

Comencé definiendo los siguientes 4 eventos: $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ y $A_{4}$ donde $A_{i}$ denota el caso de que se encuentre exactamente un as en el i $^{th}$ pila - así que para encontrar la probabilidad necesito encontrar la probabilidad de la intersección de todos estos eventos que es donde puedo usar la regla de la multiplicación.

La regla de la multiplicación dice que $$\mathbb{P}(A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \cap A_{4})= \mathbb{P}(A_{1}) \mathbb{P}(A_{2}|A_{1}) \mathbb{P}(A_{3}|A_{2} \cap A_{1}) \mathbb{P}(A_{4}|A_{3} \cap A_{2} \cap A_{1})$$

Para encontrar cada una de las probabilidades en el lado derecho, he comparado las posibles combinaciones permitidas para cada situación:

El número de combinaciones de cartas posibles que $A_{1}$ tiene es $\binom{48}{12}$ y el número total de combinaciones de cartas posibles para el primer montón es $\binom{52}{13}$ . De ello se desprende que $$\mathbb{P}(A_{1})= \frac{\binom{48}{12}}{\binom{52}{13}}=\frac{1406}{4165}$$

Al pasar al segundo montón, se deduce que ahora nos quedan 39 cartas, por lo que para que el montón 2 tenga exactamente un as, nos lleva a $\binom{36}{12}$ posibles combinaciones de la $\binom{39}{13}$ número total de combinaciones y así obtenemos que $$\mathbb{P}(A_{2}|A_{1}) = \frac{\binom{36}{12}} {\binom{39}{13}} =\frac{225}{703}$$ .

Continuando de esta manera obtuve que

$$\mathbb{P}(A_{3}|A_{2} \cap A_{1}) = \frac{\binom{24}{12}}{\binom{26}{13}}=\frac{13}{50}$$

y por la forma en que he definido mis eventos, significa que $$\mathbb{P}(A_{4}|A_{3} \cap A_{2} \cap A_{1}) = 1$$

así que por la regla de la multiplicación obtengo que $$\mathbb{P}(A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \cap A_{4}) = \frac{1406}{4165} \frac{225}{703} \frac{13}{50} \approx 0.0281$$

Sin embargo la respuesta que me dan dice que debe ser $\approx 0.105$ . ¿Puede alguien ayudarme a ver en qué me he equivocado? ¿Será que al definir los eventos de forma diferente se obtienen diferentes probabilidades? Gracias.

Answer 1

ETA: Veo que se espera el uso de la regla de la multiplicación. Todavía voy a dejar esto aquí como un enfoque a utilizar para este tipo de problemas, en general.

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Enfoque alternativo. Coloque el otro $48$ cartas en cuatro montones, teniendo en cuenta el orden; hay $48!$ formas de hacerlo. A continuación, asigna cada uno de los cuatro ases a uno de los montones; hay $4!$ formas de hacerlo. Por último, cada as tiene que ser colocado en uno de $13$ diferentes posiciones en su respectiva pila; hay $13^4$ formas de hacerlo.

Dado que hay $52!$ diferentes disposiciones de la cubierta en general, la probabilidad deseada es

$$ \frac{13^4 \times 4! \times 48!}{52!} = \frac{2197}{20825} \approx 0.10550 $$

Answer 2

En primer lugar, una pequeña errata:

$$\mathbb{P}(A_{1})= \frac{\binom{48}{12}}{\binom{48}{12}}=\frac{1406}{4165}$$

Supongo que querías decir:

$$\mathbb{P}(A_{1})= \frac{\binom{48}{12}}{\binom{52}{13}}$$

Sin embargo, cuando lo calculo, obtengo

$$\frac{\binom{48}{12}}{\binom{52}{13}} = \frac{9139}{83300}$$

Y lo que es más importante, puesto que hay $4$ ases a elegir para la pila $1$ Realmente debería serlo:

$$\mathbb{P}(A_{1})= \frac{4 \cdot \binom{48}{12}}{\binom{52}{13}}=\frac{9139}{20825}$$

Del mismo modo, algo falló en su cálculo aquí:

$$\mathbb{P}(A_{2}|A_{1}) = \frac{\binom{36}{12}} {\binom{39}{13}} =\frac{225}{703}$$

Cuando lo calculo, obtengo

$$\frac{\binom{36}{12}} {\binom{39}{13}} = \frac{325}{2109}$$

Pero, de nuevo, lo más importante es que, como hay $3$ ases para elegir, realmente debería serlo:

$$\mathbb{P}(A_{2}|A_{1})=\frac{3\cdot \binom{36}{12}} {\binom{39}{13}} =\frac{325}{703}$$

Y de la misma manera, ya que hay $2$ ases que quedan para la pila $3$ Debería serlo:

$$\mathbb{P}(A_{3}|A_{2} \cap A_{1}) = \frac{2 \cdot \binom{24}{12}}{\binom{26}{13}}=\frac{13}{25}$$

Y así, tenemos:

$$\mathbb{P}(A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \cap A_{4}) = \frac{9139}{20825} \frac{325}{703} \frac{13}{25} \approx 0.1055$$

Como se desee. Así que, hiciste el método básico en gran parte correcto, pero hiciste algunos cálculos descuidados, y lo más importante, te olvidaste de tener en cuenta que para las primeras pilas tienes una opción de ases.

Answer 3

Otro enfoque que utiliza la regla de la multiplicación

La regla de la multiplicación se puede aplicar de forma muy sencilla imaginando $52$ ranuras divididas en $4$ montones de $13$

$\small{\square\square\square\square\square\square\square\square\square\square\square\square\square\quad\square\square\square\square\square\square\square\square\square\square\square\square\square\quad\square\square\square\square\square\square\square\square\square\square\square\square\square\quad\square\square\square\square\square\square\square\square\square\square\square\square\square}$

El $1^{st}$ as pueden ir a cualquier ranura, y dado que El $2^{nd}$ as tiene $39$ de $51$ ranuras libres para entrar,
y así sucesivamente, por lo que simplemente $\quad\frac{39}{51}\cdot\frac{26}{50}\cdot\frac{13}{49}$

De esta manera, no tenemos que preocuparnos en absoluto de cómo el otro $48$ se distribuyen las tarjetas.

Answer 4

Un enfoque diferente:

Hay

-- $\binom{4}{1}$ formas de seleccionar un as y $\binom{48}{12}$ formas de seleccionar otras tarjetas a la $1$ de la cubierta, mientras que $\binom{52}{13}$ hacerlo en total;

-- $\binom{3}{1}$ formas de seleccionar un as y $\binom{36}{12}$ formas de seleccionar otras cartas a la segunda baraja, mientras que $\binom{39}{13}$ hacerlo en total;

-- $\binom{2}{1}$ formas de seleccionar un as y $\binom{24}{12}$ formas de seleccionar otras cartas a la tercera baraja, mientras que $\binom{36}{13}$ hacerlo en total;

-- esta es fácil.

Así, tenemos

$$\frac{\binom{4}{1}\binom{48}{12}}{\binom{52}{13}}\times\frac{\binom{3}{1}\binom{36}{12}}{\binom{39}{13}}\times \frac{\binom{2}{1}\binom{24}{12}}{\binom{26}{13}} \approx 0.1055.$$

Answer 5

Has ignorado el hecho de que hay $4$ diferentes ases, así que $P(A_1) = \dfrac{4\binom{48}{12}}{\binom{52}{13}}$ etc.