Si los últimos 3 dígitos de $2012^m$ y $2012^n$ son idénticas, encontrar el menor valor posible de $m+n$.

Question

<blockquote> <p>Que $m$ $n$ ser enteros positivos tales que $m>n$. Si los últimos 3 dígitos de $2012^m$ y $2012^n$ son idénticas, encontrar el menor valor posible de $m+n$.</p> </blockquote> <p>Puesto que la cifra de 100 0 en ambos casos, sólo lo $2012^m \equiv 2012^n \mod 1000$ y consiguió $12^m \equiv 12^n\mod 1000$ pero yo no sé dónde ir desde allí. Tratando de calcular los primera pocos poderes de $12$ sólo obtendrá los números más grandes y el patrón no parece surgir pronto.</p>

Answer 1

Usted tiene por lo tanto, $12^m\equiv 12^n\pmod{10^3}$ $12^m\equiv 12^n\pmod{2^3}$ y $12^m\equiv 12^n\pmod{5^3}$.

Para estos últimos, tenemos $12^{m-n}\equiv 1\pmod{5^3}$, por lo tanto $m\equiv n\pmod{100}$ porque es del orden multiplicativo de $12$ modulo $5^3$ $100$, como computado aquí.

Por otra parte, $12^n(12^{m-n}-1)\equiv 0\pmod{2^3}$ de que $12^n\equiv 0\pmod{2^3}$ $n\geq 2$ que.

Así $n=2$ y $m=102$ es la solución más pequeña con suma $m+n=104$.

Answer 2

Vamos a encontrar la periodicidad de los últimos dígitos: $$ 1\underline{2}, 14\underline{4}, 172\underline{8}, 2073\underline{6}, 24883\underline{2}, ... $$ Desde $12^1 \equiv 12^5 \equiv 2 \bmod(10)$, llegamos a la conclusión de que $12^k\equiv 12^{k+4} (\bmod 10)$.

Ahora encontrar la periodicidad de los últimos $2$ dígitos, usando esta $4$-la periodicidad de los últimos dígitos: desde $12^4 \equiv 36 (\bmod 100)$,

$12^1 =12 (\bmod 100)$,
$12^5 \equiv 12 \cdot 12^4 \equiv 12\cdot 36 \equiv 32 (\bmod 100)$,
$12^9 \equiv 12^5 \cdot 12^4 \equiv 32\cdot 36 \equiv 52 (\bmod 100)$,
$12^{13} \equiv 12^9 \cdot 12^4 \equiv 52\cdot 36 \equiv 72 (\bmod 100)$,
$12^{17} \equiv 12^{13}\cdot 12^4 \equiv 72\cdot 36 \equiv 92 (\bmod 100)$,
$12^{21} \equiv 92\cdot 36 \equiv 12 (\bmod 100)$;

así, la periodicidad de los últimos $2$ dígitos es $20$.

Finalmente, encontrar la periodicidad de los últimos $3$ dígitos: desde $12^{20} \equiv 176 (\bmod 1000)$, tenemos:

$12^2 \equiv 144 (\bmod 1000)$;
$12^{22} \equiv 144 \cdot 176 \equiv 344 (\bmod 1000)$;
$12^{42} \equiv 344 \cdot 176 \equiv 544 (\bmod 1000)$;
$12^{62} \equiv 544 \cdot 176 \equiv 744 (\bmod 1000)$;
$12^{82} \equiv 744 \cdot 176 \equiv 944 (\bmod 1000)$;
$12^{102} \equiv 944 \cdot 176 \equiv 144 (\bmod 1000)$;

Por eso, $$12^2 = 144,$$ $$12^{102} \equiv 144 (\bmod 1000).$$

$$(m+n = 104)$$

Answer 3

Como $12^{m-n}-1$ es impar, $2^3$ debe dividir $12^n\implies n\ge2$

Como $(12^n,5)=1,5^3$ debe dividir $12^{m-n}-1$

$\iff12^{m-n}\equiv1\pmod{125}$

Como $12^2\not\equiv1\pmod5\implies$ord$_512=4$

Ahora $12^4=(145-1)^2\not\equiv1\pmod{25}\implies$ord$_{25}12=4\cdot5$

Por eso, $12$ es una raíz primitiva $\pmod{5^r},r\ge1$

$\implies m-n$ debe ser divisible por $\phi(125)$

Referencia:

Si $g$ es una raíz primitiva de $p^2$ donde $p$ es una extraña prime, ¿por qué es $g$ una raíz primitiva de $p^k$ cualquier $k \geq 1$?

Aquí el Orden de los números modulo $p^2$ He probado si ord$_pa=d,$ord$_{p^2}a=d$ o $pd$

Answer 4

Los 3 últimos dígitos repetir periódicamente, tenemos que encontrar el período. Primero que todo, permítanme por favor escriba el código para tener una respuesta certera, la solución humana de la siguiente manera:

Sage código:

L = []
R = Zmod(1000)
b = R(2012)
a = b
n = 1    # corresponds to a = b^1
while a not in L:
    L.append(a)
    print "2012^%3s = %3s modulo 1000" % ( n, a )
    n += 1
    a *= R(2012)
print "n = %s :: Value repeated = %s" % ( n, a )

Resultados (omisiones en el medio...)

2012^  1 =  12 modulo 1000
2012^  2 = 144 modulo 1000
2012^  3 = 728 modulo 1000
2012^  4 = 736 modulo 1000
2012^  5 = 832 modulo 1000
2012^  6 = 984 modulo 1000
2012^  7 = 808 modulo 1000
2012^  8 = 696 modulo 1000
2012^  9 = 352 modulo 1000
2012^ 10 = 224 modulo 1000
2012^ 11 = 688 modulo 1000

::::::::::::::::::::::::::

2012^ 95 = 968 modulo 1000
2012^ 96 = 616 modulo 1000
2012^ 97 = 392 modulo 1000
2012^ 98 = 704 modulo 1000
2012^ 99 = 448 modulo 1000
2012^100 = 376 modulo 1000
2012^101 = 512 modulo 1000
n = 102 :: Value repeated = 144

Ahora la solución humana.

Queremos $2012^m = 2012^n$ modulo $1000$ con un mínimo de valores para $m>n>0$. La igualdad modulo $1000$ es equivalente a las dos siguientes igualdades: $$ \begin{aligned} 2012^m &= 2012^n\text { modulo }2^3 = 8\ ,\qquad\text{ and }\\ 2012^m &= 2012^n\text { modulo }5^3 = 125\ . \end{aligned} $$ Para $n=1$ tenemos $2012^n=2012=4$ modulo $8$. Para $n>1$ naturalmente $2012^n=4^n=0$ modulo $8$. Así que la primera vez que podemos tener una repetición es de $n=2$. La repetición se produce - buscando ahora en el lado con restos modulo $125$, después de la última $$ \phi(125)=\phi(5^3)=\frac 45\cdot 5^3=100 $$ pasos. (Desde $2012$ es el primer a $125$ aquí $\phi$ es el de Euler indicador de función.)

Desde el cálculo anterior sabemos que $100$ es el mínimo periodo de tiempo. Para mostrar esto, es suficiente para ver que

• $2012^{100/2}$, y

• $2012^{100/5}$,

no es un modulo $125$. Uno puede calcular por ejemplo

sage: 2012^10 % 125
99
sage: 2012^20 % 125, 99^2 % 125
(51, 51)
sage: 2012^50 % 125, 99^5 % 125
(124, 124)

De modo que el orden de $2012=12$ en el grupo multiplicativo $(\Bbb Z/125)^\times$ orden $\phi(125)=100$ es, de hecho,$100$, la completa posible de la orden, ya que no inmediata divisores son. También podemos pedir

sage: R = Zmod(125)
sage: R(2012).multiplicative_order()
100

Por lo que el mínimo de los valores de se $m=102 >n=2>0$.

Answer 5

Tenemos

$$ 12 ^ n \equiv 12 ^ {n +100} \Rightarrow n = 2, m = 102\to n + m = 104 $$