¿Hay alguna forma clara de escribir la parametrización de esta curva en forma de costura de pelota de tenis en la esfera?

Question

He estado experimentando con el dibujo de curvas en la superficie de una esfera (de radio 1). Para que se sitúe sobre la esfera, cada punto $(x,y,z)$ debe satisfacer: $$ \begin{equation} \tag{1} \label{Eq1} x^2 + y^2 + z^2 = 1 \end{equation} $$ Me interesé por dibujar algo que se pareciera vagamente a la costura de una pelota de tenis:

Mi primera suposición fue probar (para algún parámetro $\theta$ entre $0$ y $2\pi$ ), $x(\theta)=cos(\theta)$ y $y(\theta)=sin(\theta)$ , antes de darme cuenta de que obviamente es sólo un círculo y de $(\ref{Eq1})$ obtenemos $z(\theta)=0$ (oops). En su lugar, he sustituido $sin(\theta)$ con una onda triangular:

A continuación, utilizando $(\ref{Eq1})$ Lo sé. $z(\theta)$ debe satisfacer:

$$ \begin{equation} \tag{2} \label{Eq2} z(\theta) = \pm\sqrt{1 - x^2(\theta) - y^2(\theta)} \end{equation} $$

Si sólo tomo la solución positiva para todos $\theta$ entonces mi curva es discontinua. Sin embargo, si alterno + y - (o viceversa) para cada uno de los cuatro cuadrantes, entonces obtengo una bonita curva suave como la que quiero:

Sin embargo, no consigo averiguar si existe una ecuación clara para describir mi $z(\theta)$ . En el gráfico siguiente no parece tan complicado. ¿Puede alguien decirme si hay una forma clara de describirlo (como una función de $\theta$ )?

Perdón por la pregunta tan larga y muchas gracias por su ayuda.

Answer 1

He aquí una idea. Parametriza la curva que quieras en coordenadas esféricas, luego usa la conversión estándar para escribir la curva paramétricamente en coordenadas cartesianas. No veo una manera sencilla de obtener la curva en la forma $z=f(x,y)$ pero debería ser una técnica útil.

Aquí está mi intento, utilizando un rango de parámetros de $t=0$ a $t=2\pi$ . El ángulo acimutal ( $\theta$ ) de su curva da una vuelta completa alrededor del $z$ -por lo que el ángulo acimutal será $t$ . El ángulo de declinación ( $\phi$ ) va por encima y por debajo del $\phi=\pi/2$ ecuador en menos de $\pi/2$ y completa una sinusoide a medida que el ángulo acimutal da la vuelta. Así pues $\phi=\pi/2+\pi\sin(t)/3$ . Dado que la curva debe permanecer en la esfera unidad, el radio $\rho$ es constante e igual a $1$ . (Este último detalle es el que hace tan útil el uso de coordenadas esféricas). Así que una parametrización de la curva en coordenadas esféricas es

$$\left(\rho,\theta,\phi)=(1,t,\pi/2+\pi\sin(t)/3\right).$$

La conversión de coordenadas de esféricas a $(x,y,z)$ coordenadas es (siempre) $$(x,y,z)=\left(\rho\sin(\theta)\cos(\phi),\rho\sin(\theta)\sin(\phi),\rho\cos(\theta)\right),$$

por lo que su curva en coordenadas cartesianas paramétricas es

$$\left(\sin(t)\cos\left(\frac{\pi}2+\frac{\pi\sin(t)}3\right),\sin(t)\sin\left(\frac{\pi}2+\frac{\pi\sin(t)}3\right),\cos(t)\right).$$

He aquí una imagen de esa curva superpuesta a la esfera unidad. (Puede que haya etiquetado los ejes fuera de orden, pero espero que captes la idea).

Después de resolver esto, busqué en Google "ecuaciones paramétricas de la curva de costura de la pelota de tenis" y hay muchos sitios donde buscar más ideas.