¿Se puede derivar la ley de Hooke?

Question

¿Podemos derivar la ley de Hooke de la teoría de la elasticidad? Sé que no es una ley fundamental y, por lo tanto, puede derivarse de consideraciones más básicas.

Answer 1

Sí, podemos derivar la Ley de Hooke a partir de condiciones básicas del continuo, siempre y cuando el material sea estable y esté en equilibrio, de modo que la energía de deformación se minimice suavemente con respecto a la distancia entre los átomos. (A esta energía a veces se le llama el potencial par y se modela utilizando funciones como el potencial de Lennard-Jones).

Consideremos solo un par de átomos. Para pequeñas desviaciones posicionales $\delta$ (correspondientes a la suposición de pequeña deformación de la elasticidad lineal) alrededor del mínimo suave de energía $E(0)$, la energía $E$, independientemente de su forma funcional real, puede expandirse usando una serie de Taylor:

$$E(\delta)=E(0)+E^{\prime}(0)\delta+\frac{E^{\prime\prime}(0)\delta^2}{2!}+\frac{E^{\prime\prime\prime}(0)\delta^3}{3!}+\cdots,$$

donde la notación de prima denota derivadas con respecto a la posición. Ahora vamos a establecer nuestra referencia de energía en $E(0)=0$, observar que $E^\prime(0)=0$ porque estamos en un mínimo de energía, y eliminar todo excepto el término siguiente. Esto nos da

$$E(\delta)\approx\frac{1}{2}E^{\prime\prime}(0)\delta^2,$$

que describe la energía de un resorte idealizado con una constante de resorte $E^{\prime\prime}$ y una desviación $\delta$; la derivada de esta ecuación con respecto a la posición proporciona la fuerza de restauración, que es

$$F(\delta)\approx E^{\prime\prime}(0)\delta.$$

Ahora definimos el estrés como $\sigma=F/A$ y la deformación ingenieril como $\epsilon=\delta/L$ y tenemos $$\sigma=\frac{LE^{\prime\prime}(0)}{A}\epsilon$$ o $$\sigma=Y\epsilon,$$

que es simplemente la Ley de Hooke para un módulo elástico correspondiente $Y.

Answer 2

Me gusta esta derivación en particular porque evita la necesidad de especificar realmente fuerzas interatómicas, como la fuerza de Coulomb y la fuerza de Pauli. Técnicamente, sin embargo, tendrás una relación para la compresión y otra para la tensión y, por lo tanto, dos constantes elásticas. A nivel macroscópico, este método producirá las funciones clásicas de trabajo y trabajo virtual con las que los ingenieros estructurales están tan familiarizados. Esta es una excelente derivación.