Swappings de esquina de cubo de Rubiks

Question

A mi hermano le gusta resolver cubos de Rubik. En ocasiones le doy la vuelta de una esquina o de dos como un reto añadido, y que finalmente es capaz de ver donde ilegal de la esquina. El otro día, me dio las ocho esquinas y el cubo era solucionable sin ningún rincón vueltas.

Sé que el cubo de Rubik es un grupo y que girar una esquina toma el cubo fuera del grupo, lo que significa que no podemos transformar el cubo de nuevo en su resuelto posición.

Mi pregunta es: ¿cuántas esquinas deben ser entregados exactamente una vez para el cubo de ser parte del grupo original que consta de todas las posiciones jurídicas? Puedo acudir a sólo dos, o tal vez cuatro esquinas y crear una posición legal?

Además, cualquier buen papeles o autores para leer para aprender sobre las matemáticas del Cubo de Rubik?

Answer 1

Como usted ha mencionado, convirtiendo a solo una esquina (es decir, las agujas del reloj) se traduce en una posición que no está en el Cubo de Rubik Grupo, pero girando uno a la derecha y uno hacia la izquierda!

Si hacemos un conteo de las agujas del reloj girar como +1 y un giro hacia la izquierda como -1, entonces resulta que mientras nuestra gira agregar hasta 0 mod 3, luego de que un jurídicos de permutación. (Por lo que al girar todos los ocho de las agujas del reloj no es legal, tal vez usted se volvió uno hacia la izquierda?)

Mi go-to de referencia para el Cubo de Rubik Grupo es el libro de Aventuras en el Grupo de Teoría de David Joyner.

Answer 2

Si usted gire a todos los rincones un paso de la misma manera (que es, por ejemplo, todas las agujas del reloj), la configuración resultante tiene solución si y sólo si el número de esquinas que convirtió a es un múltiplo de tres.

Por lo que al girar las ocho esquinas un paso de las agujas del reloj cada uno no va a producir una solución de configuración.

De manera más general, el cubo permanecerá solucionable iff la diferencia entre el número de esquinas que gira en sentido horario, y cómo muchas de las esquinas se volvió hacia la izquierda es un múltiplo de tres.

Por ejemplo, se tornan igualmente muchas de las esquinas de las agujas del reloj como en sentido antihorario, producir una solución de configuración, debido a que $0$ es un múltiplo de a $3$ (es decir, es $0\times 3$).

Answer 3

Depende de cómo se conviertan. Un 1/3 de vuelta hacia la izquierda (mirando hacia la esquina de afuera), es llamado un "quark" y de manera similar a una contra-rotación a la derecha se llama "antiquark". En analogía a la "real" quarks/antiquarks, puede combinar un quark y un antiquark, o puede combinar tres quarks (o tres antiquarks) y todavía dejar el cubo en una solución de estado. Que si mal no recuerdo.

Hofstadter del artículo en Scientific American (ca. 1980) es uno de referencia y David Singmaster del folleto sobre el cubo es otra.