¿Debe ser una matriz de los cuales conjugados todos tienen cero diagonal cero?

Question

Deje $A$ $n \times n$ real de la matriz con la siguiente propiedad:

Todos los conjugados de la $A$ sólo tiene ceros en la diagonal. Qué $A=0$?

(Por conjugados, me refiero a todas las matrices similares,$\mathbb{R}$, que se me requiere la conjugación de la matriz para ser real).

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Por supuesto, si $A$ es diagonalizable, entonces es claro que debe ser cero.

La única idea que tengo es el uso de la Jordan en la forma real de las matrices, pero después de algunos pensaban que no estoy seguro de que este es un buen enfoque.

Answer 1

Creo que es cierto: Supongo que $A$ es distinto de cero. Entonces nos encontramos con distinto de cero $v,w\in \mathbb R^n$ $Av=w$. Si $w$ y $v$ son linealmente dependientes, ampliar $v$ a una base, luego $A$ escrito en esa base tendrá una entrada distinto de cero en la diagonal. Si son independientes, entonces así que son $v$ y $v+w$. ${v,v+w}$ A base de extender entonces producirá un elemento diagonal distinto de cero en $A$ escrito en esta base.

Answer 2

Una alternativa, de coordenadas basado en la respuesta: la Conjugada con la mutuamente inversas de las matrices $S^\pm_{ij}=\delta_{ij}\pm\delta_{i\alpha}\delta_{j\beta}$ arbitrarias $\alpha\ne\beta$ (es decir, las matrices donde $\pm1$ es añadido a la unidad de la matriz en algunos fuera de la diagonal de la entrada) y considerar el $\alpha$-ésimo elemento de la diagonal el resultado:

$$ \left.\sum_{jk}\left(\delta_{ij}+\delta_{i\alpha}\delta_{j\beta}\right)A_{jk}\left(\delta_{kl}-\delta_{k\alpha}\delta_{l\beta}\right)\right|_{i=l=\alpha}=\left.\sum_{jk}\left(\delta_{ij}+\delta_{j\beta}\right)A_{jk}\delta_{kl}\right|_{i=l=\alpha}=A_{\alpha\alpha}+A_{\beta\alpha}\;. $$

Claramente $A_{\alpha\alpha}=0$ (a partir de la conjugación con la unidad de la matriz), y desde $\alpha\ne\beta$ fueron arbitrarias, se sigue que todas las entradas de $A$ son cero.

Answer 3

El campo es importante. La condición dada implica que $\operatorname{tr}(APDP^{-1}) = \operatorname{tr}(P^{-1}APD) = 0$ por cada matriz invertible $P$ y cada diagonal de la matriz $D$. Desde el conjunto de todos los diagonalisable matrices abarca todo el espacio de la matriz (de hecho, hay incluso un mejor resultado, es decir, cada matriz cuadrada es la suma de a lo más tres diagonalisable matrices), la observación anterior, implica que el $\operatorname{tr}(AB)=0$ por cada matriz $B$. Por lo tanto $A=0$.