¿Podemos expresar$\pi$ en términos de$\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}$?

Question

Como$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ $

¿podemos ahora expresar$\pi$ en términos de esta serie multiplicando por$6$ y tomando la raíz cuadrada? Si no, ¿por qué esto no es cierto?

Me preguntaba porque tenía una pregunta de examen que requería escribir$\pi$ en términos de una suma infinita. Lo hice exactamente así y obtuve 0 puntos. Así que pensé que tal vez estaba haciendo algo mal al manipularlo de esta manera

Answer 1

La fórmula resultante para$\pi$ es ciertamente correcta; pero dependiendo de la formulación original de la pregunta: "en términos de" una suma podría haber significado como una suma, no una función del mismo (tal como su raíz cuadrada). Otra opción es la serie de Gregory$\pi=4\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1}$, que sigue de la serie de Taylor de$\arctan x$ evaluado en$x=1$.

Answer 2

Sí, claro.

Answer 3

Usted puede utilizar el único de la factorización de las propiedades de los enteros de Gauss para demostrar que la suma familiar

$\frac{\pi}{4}= 1 - (1/3) + (1/5) - (1/7) + ...$

Ver aquí para la conexión entre esta y la UF de los enteros de Gauss.

Menos conocido es el hecho de que podemos utilizar cualquier otro UF dominio de los imaginarios cuadrática surds, y con una prueba análoga a la que en la que se hace referencia vídeo podemos conseguir cosas como:

$m+n\sqrt{-2}$ dominio:

$\frac{\pi}{2\sqrt{2}}= 1 + (1/3) - (1/5) - (1/7) + (1/9) + (1/11) - (1/13) - (1/15) + ...$

(Mismas condiciones que el $\pi/4$ serie, pero un $++--$ señal patrón.)

$m+n\omega$ dominio, $\omega$ es una primitiva raíz cúbica de la unidad:

$\frac{\pi}{3\sqrt{3}}= 1 - (1/2) + (1/4) - (1/5) + (1/7) - (1/8) + (1/10) - (1/11) + ... $

(Omita los múltiplos de 3 y, a continuación, se alternan los signos.)

$m+n(1+\sqrt{-7})/2$ dominio:

$\frac{\pi}{\sqrt{7}}= 1 + (1/2) - (1/3) + (1/4) - (1/5) - (1/6) + (1/8) + (1/9) - (1/10) + (1/11) - (1/12) - (1/13) + ...$

(Omita los múltiplos de 7 y aplicar la señal de patrón $++-+--$ para el resto.)

Podemos seguir todo el camino a la $\sqrt{-163}$ dominio, pero el signo de los patrones (determinado por Legendre símbolos) se vuelven más y más complicado.